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分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/
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169: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/21(金) 09:06:29.98 ID:+t2V5SC/ 今年の難関高校の問題らしいですが、三角比なしでどうやったら良いでしょうか。ご教示ください。 AB=6,BC=10,CA=8の△ABCの外接円をKとする。 弦BCに関してBと反対側にあるKの弧上に点Pをとり、PA+PB+PCが最大となるようにする。 （1）Kの半径を求めよ。 （2）PA+PB+PCの最大値を求めよ。 （3）PA+PB+PCを最大にするPをQとする。Qの位置を求めよ。 （4）Qから直線ABに垂線を下ろし、垂線とQの交点をHとする。CHの長さを求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/169
172: 哀れな素人 [] 2020/02/21(金) 11:04:48.17 ID:vIRKdDZf >>169 （1）△ABCは直角三角形だから、半径＝５ （2）最大になるのはABPCの面積が最大になるときだから17√2 （3）（2）の理由によりBCの平行線が円Kと接する点。 （4）問題文が意味不明。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/172
173: 哀れな素人 [] 2020/02/21(金) 11:22:35.61 ID:vIRKdDZf >>169 （4）垂線とABの延長との交点をHとするという意味なら、√113 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/173
181: 哀れな素人 [] 2020/02/21(金) 16:52:48.25 ID:vIRKdDZf >>180 >>169の問題の答えだけ書いても質問者は納得できないだろうから、 一応説明しておくと− （1）は説明省略。 （2）この問題は（3）が一番難しい。僕が考えたのは− PAの最大値はPAが直径のときで、そのときPA＝BCだから PA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CP つまりBC＋BP＋CPが最大のときを考えればよく、 BCは一定だからBP＋CPが最大のときを考えればよい。 BP＋CPが最大になるのはどの時かは二つの考え方がある。 ? 周長が長いほど面積は大きい。→面積が最大のときを考えればよい。 ? 相加平均≧相乗平均より、BP＝CPのときがBP＋CPは最大。 ゆえにBP＝CP＝5√2 APは方べきの定理より7√2 （3）は（2）の説明の通り。 （4）円周角の定理により∠BCQ＝∠BAQ＝45° ゆえにAH＝7 あとは△AHCに三平方の定理を適用して√113 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/181
182: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/21(金) 16:53:25.31 ID:+4K3m1jQ >>169 初等幾何だけ縛りあるとかなりしんどいけど略解 ∠BCD=90°、BD=ACとなるEをBCに関しAと反対側にとる。 Eを半直線BD上にDE=BCととる。 ∠DEF=90°、EF=ABとなるFをBCに関してAと反対側にとる。 SをDからFRに下ろした垂線の足とする。 動点Pに対し、半直線CPにD,Fから下ろした垂線の足をQ,Rとする。 この時△ACPの外接円の半径=△DFSの外接円の半径と∠ACP=∠DFSによりAP=DS=QR。 頑張るとPQ=PB、(コレはPの位置により2ケースあってめんどい) 以上によりPA+PB+PC=BRで求める最大値はF=RとなるときでPが直線BF上の時。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/182
186: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/21(金) 18:00:26.11 ID:YlLJTAPA >>169 トレミーの定理使って計算すると 最大値は2*sqrt(145) PA=120/sqrt(145),PB=90/sqrt(145),PA=80/sqrt(145) のとき http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/186
194: 哀れな素人 [] 2020/02/21(金) 20:00:36.08 ID:vIRKdDZf これから一時間ほど中断するが、 >>169の問題は高校入試の問題だから、 >>186のような複雑な答えにはならないはずである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/194
197: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2020/02/21(金) 21:05:37.23 ID:aeOjnxR9 前>>159 >>169 (1)Kの半径=5 (2)PA+PB+PC=10+8+6=24 (3)Q(1.4,-4.8) (4)C(5,0) H(-5.4,0.3) CH=√(10.4^2+0.3^2) =√(108.16+0.09) =√108.25 =10.404326…… 問題がおかしいかもよ？ こんな半端な長さ出して意味あんの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/197
205: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/22(土) 01:22:28.95 ID:ceeKINr6 >>169 の既出の答えのまとめ。 AB=c、BC=a、CA=bとおいて弧BCでAを含む側にBD:CD=AB+BC:AC+BCを満たすDをとる。 AB+BC=kBD、AC+BC=kCDなるkをとれば (AP+BP+CP)BC =AB・CP+ AC・BP+ BC・BP+ BC・CP (∵トレミー) =(AC+BC)・BP+ (AB+ BC)・CP =kCD・BP+kBD・CP =kBC・DP (∵トレミー) によりAP+BP+CPが最大となるのはDPが直径となるときである。 すなわちBP:CP=CD:BD=AC+BC:AB+BCとなるときである。 本問ではBP:CP=9:8となるときである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/205
214: 哀れな素人 [] 2020/02/22(土) 13:44:39.59 ID:t1VmBQdA >>169の(4)はたぶん、 QからBCに下ろした垂線の足をHとする、という意味だろう。 それだと答えは128/29である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/214
215: 169 [sage] 2020/02/22(土) 13:59:42.89 ID:cPpHE1j8 >>214 お前の解答はゴミ、正解と全然ちゃうわ。無駄な時間お疲れさん 他の皆様の解答は大筋その方針でOK 難関高校の問題をノーヒントにして設問（3）（4）を追加してみたが、トレミーの定理って高校受験の常識じゃなかったよか、意外に難しかったか （1）は易しすぎるが高校入試風味を出すために残しておいた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/215
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