[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/

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251: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 17:19:27.05 ID:x1qWF4GD |exp(iα)| = 1 だから {exp(iα) | α∈R} の軌跡は１を通り有界な曲線。 櫛歯形などの無限に長い曲線かも知れないが････ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/251

252: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 18:01:23.51 ID:x1qWF4GD >>242 　f(z+w) = Σ[k=0,∞] (z+w)^k /k! 　　　= Σ[k=0,∞] Σ[m+n=k] (z^m /m!)(w^n /n!)　　(2項公式) 　　　= (Σ[m=0,∞] z^m /m!)(Σ[n=0,∞] w^n /n!) 　　　= f(z) f(w)　　････ 指数公式 いま 　f(iy) = cos(y) + i･sin(y) とおく。 　cos(y) = Re{f(iy)} = Σ[k=0,∞] (-1)^k y^(2k)/(2k)! 　sin(y) = Im{f(iy)} = Σ[k=0,∞] (-1)^k y^(2k+1) /(2k+1)! 指数公式 　f(iny) = f(iy)^n, は ド・モァヴルの公式 　cos(ny) + i･sin(ny) = {cos(y)+i･sin(y)}^n, となり、実数部と虚数部に分ければ n倍角公式 が出る。 　f(iy)f(-iy) = f(0) = 1, より 　cos(y)^2 + sin(y)^2 = 1, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/252

253: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 18:04:51.69 ID:x1qWF4GD 次に cos(y), sin(y) の零点をさがす。 cos(0) = 1, cos(2) = Σ[k=0,∞] (-1)^k (4^k)/(2k)! 　= 1 -4/(2!) + 16/(4!) - 64/(6!) + ･･･ 　= 1 -2 +2/3 -4/45 + ････ 　< 0 0<y<2 に cos(y) の零点 p/2 がある。 　cos(p/2) = 0, 　sin(p) = 2sin(p/2)cos(p/2) = 0, 0<y<4 に sin(y) の零点pがある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/253

255: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 18:14:47.32 ID:x1qWF4GD cos(p) = 2cos(p/2)^2 -1 = -1, f(i(p/n))^n = f(ip) = cos(p) + i･sin(p) = -1, f(i2p) = (-1)^2 = 1, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/255

257: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 18:34:32.17 ID:x1qWF4GD 指数公式から 　f(z+2pi) = f(z)f(2pi) = f(z), 定義(マクローリン展開)から 　{sin(y)} ' = cos(y), 　{cos(y)} ' = -sin(y), も出る。 >>254 　cos(y)^2 + sin(y)^2 = f(iy)f(-iy) = f(0) = 1, から有界であることは分かりますが･･･ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/257

261: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 20:08:14.65 ID:x1qWF4GD 　-1が平方剰余. 　((-1)/n) = 1. 　x^2≡-1　(mod n)　が解をもつ. 　平方剰余の分布が対称的. 　　　↓ 　k=1,2,････,n-1 における mod(k^2,n) の平均が n/2. 　Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/261

267: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 22:53:46.80 ID:x1qWF4GD nが合成数のときは nと素な元を集めた集合 {k|gcd(k,n)=1、正則元} = (Z/nZ)^ で考える方が良いでしょうね。 そうすれば -1が平方剰余　(mod n) 　　↓ (Z/nZ)^ における mod(k^2,n) の平均が n/2. Σ[k∈(Z/nZ)^] mod(k^2,n) = nφ(n)/2.　 φ(n)はオイラーのtotient関数です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/267

268: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 23:29:09.89 ID:x1qWF4GD 　-1 が平方剰余　(mod n) 　n=Πp　ならば　((-1)/n) = Π((-1)/p), 〔第一補充法則〕 　((-1)/p) = 1　　(p=4k+1 または p=2) 　　　　= -1　　(p=4k+3) nが 4k+3型の素数pを全部でいくつ含むか、で決まる。 　偶数個か0　→　+1　→　等号 　奇数個　→　-1　→　不等号 でしょうか････ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/268

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