[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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251: 2020/02/23(日)17:19 ID:x1qWF4GD(1/8) AAS
|exp(iα)| = 1 だから
{exp(iα) | α∈R} の軌跡は１を通り有界な曲線。
櫛歯形などの無限に長い曲線かも知れないが････

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252: 2020/02/23(日)18:01 ID:x1qWF4GD(2/8) AAS
AA省

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253(1): 2020/02/23(日)18:04 ID:x1qWF4GD(3/8) AAS
次に cos(y), sin(y) の零点をさがす。
cos(0) = 1,
cos(2) = Σ[k=0,∞] (-1)^k (4^k)/(2k)!
　= 1 -4/(2!) + 16/(4!) - 64/(6!) + ･･･
　= 1 -2 +2/3 -4/45 + ････
　< 0
0<y<2 に cos(y) の零点 p/2 がある。
省3

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255: 2020/02/23(日)18:14 ID:x1qWF4GD(4/8) AAS
cos(p) = 2cos(p/2)^2 -1 = -1,
f(i(p/n))^n = f(ip) = cos(p) + i･sin(p) = -1,
f(i2p) = (-1)^2 = 1,

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257: 2020/02/23(日)18:34 ID:x1qWF4GD(5/8) AAS
指数公式から
　f(z+2pi) = f(z)f(2pi) = f(z),

定義(マクローリン展開)から
　{sin(y)} ' = cos(y),
　{cos(y)} ' = -sin(y),
も出る。

>>254
省2

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261(1): 2020/02/23(日)20:08 ID:x1qWF4GD(6/8) AAS
　-1が平方剰余.
　((-1)/n) = 1.
　x^2≡-1　(mod n)　が解をもつ.
　平方剰余の分布が対称的.
　　　↓
　k=1,2,････,n-1 における mod(k^2,n) の平均が n/2.
　Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2.

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267: 2020/02/23(日)22:53 ID:x1qWF4GD(7/8) AAS
nが合成数のときは nと素な元を集めた集合 {k|gcd(k,n)=1、正則元} = (Z/nZ)^ で考える方が良いでしょうね。
そうすれば
-1が平方剰余　(mod n)
　　↓
(Z/nZ)^ における mod(k^2,n) の平均が n/2.
Σ[k∈(Z/nZ)^] mod(k^2,n) = nφ(n)/2.　
φ(n)はオイラーのtotient関数です。

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268(1): 2020/02/23(日)23:29 ID:x1qWF4GD(8/8) AAS
　-1 が平方剰余　(mod n)
　n=Πp　ならば　((-1)/n) = Π((-1)/p),

〔第一補充法則〕
　((-1)/p) = 1　　(p=4k+1 または p=2)
　　　　= -1　　(p=4k+3)
nが 4k+3型の素数pを全部でいくつ含むか、で決まる。
　偶数個か0　→　+1　→　等号
省2

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