[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/

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242: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 09:56:07.33 ID:sm1T7+nt ある複素関数を f(z) = Σ[k=0,∞] (z^k / k!) と無限級数で定義します。 つまり指数関数ですが、まだその周期性を知らず、πや三角関数(sin, cos)も知らないものとします。 無限級数の収束性等は既知とします。 f(z) は ある純虚数の周期を持つ関数である事を示してください。 出典は特にありません、答えも分かりません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/242

248: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 14:22:35.55 ID:sm1T7+nt >>244 ありがとうございます |exp(iθ)| = 1 ここまでは了解です。 ただし... > θを微小とすれば exp(iθ)≒ 1 + iθ だから中間値の定理でexp(iθ)を 1 のn乗根にできる >すなわち exp(iθ)はθの周期関数 この論理展開は厳しいのではないでしょうか？ 中間値の定理でぶち当たってほしい値の正統性が怪しいです。 1 のn乗根を exp(iα)で 表せる事 (αはなんらかの実数) は exp(iθ)の周期性が既知でないと言えないかと思います。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/248

260: 242 [sage] 2020/02/23(日) 19:22:13.94 ID:sm1T7+nt >>253 あぁ...中間値の定理をそこで使うんですね。少し誤解してました。 cos(0) = +1 cos(2) = 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! + 2^8/8! - ... < 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * (1 + 0 + 2^4/8^4 + 0 + 2^8/8^8...) < 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * 2 = -43/105 < 0 ∴ あるp∈(0,2) について cos(p) = 0, sin(p) = ±1 (正負を知る必要はない) exp(ip)^4 = ( 0 ± i )^4 = 1 つまり4乗根が得られたので exp(i(x+4p)) = exp(ix) * exp(i4p) = exp(ix) * exp(ip)^4 = exp(ix) exp(ix) の周期は 4p (或いはその何分の一) である。とりあえずここまででOKです。 他のみなさんもありがとうございました。先を考える参考になります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/260

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