[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/

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727: １３２人目の素数さん [] 2020/03/19(木) 04:45:40.82 ID:o+4AW6nT >>719 >>722 >718です。べき級数展開の積でやるのはこんな感じです まず、 1/(1-x+x^2)=1/{(x-a)(x-b)} と因数分解すると a=(1+i√3)/2=e^(2πi/6), b=(1-i√3)/2=e^(-2πi/6) である ここで a^3=-1 と 1/b=a に注意しておく 1/(x-a)=1/(-a) * 1/{1-(x/a)} =1/(-a)*{1+(x/a)+1+(x/a)^2+1+(x/a)^3+…} 同様に 1/(x-b)=1/(-b) * 1/{1-(x/b)} =1/(-b)*{1+(x/b)+1+(x/b)^2+1+(x/b)^3+…} =1/(-b)*{1+(x/b)+1+(x/b)^2+1+(x/b)^3+…} =(-a)*(1+ax+1+(ax)^2+1+(ax)^3+…) すると、 1/(x-a) * 1/(x-b) のx^(3n)の項は、 (x/a)^(3n)*1+(x/a)^(3n-1)*ax+(x/a)^(3n-2)*(ax)^2+ … +(x/a)^2*(ax)^(3n-2)+(x/a)*(ax)^(3n-1)+(ax)^(3n) よってこの係数は (1/a)^(3n)+(1/a)^(3n-2)+(1/a)^(3n-4)+ … +a^(3n-4)+a^(3n-2)+a^(3n) =(1/a)^(3n)*{1+a^2+a^4+ … +a^(6n-4)+a^(6n-2)+a^(6n)} =(1/a)^(3n)*{1-(a^2)^(3n+1)}/(1-a^2) =1/(-1)^n *{1-a^(6n)*a^2}/(1-a^2) =(-1)^n ある分野ではこんなべき級数展開の積をばんばんやるのですが、 でも、この問題では>723の方がエレガントですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/727

728: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/19(木) 04:50:14.81 ID:o+4AW6nT >>727 おおう、typo… 前半の計算は、正しくは 1/(x-a)=1/(-a) * 1/{1-(x/a)} =1/(-a)*{1+(x/a)+(x/a)^2+(x/a)^3+…} 同様に 1/(x-b)=1/(-b) * 1/{1-(x/b)} =1/(-b)*{1+(x/b)+(x/b)^2+(x/b)^3+…} =1/(-b)*{1+(x/b)+(x/b)^2+(x/b)^3+…} =(-a)*(1+ax+(ax)^2+(ax)^3+…) でしたorz http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/728

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