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分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/
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460: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:25:01.78 ID:kLdlq8Gi >>459 #U = (n - 1) * (n - 2) / 2 ではないでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/460
461: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:29:56.29 ID:kLdlq8Gi #A = #B = #C = n / 2 ではないでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/461
462: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:31:06.60 ID:kLdlq8Gi #A∩B = #B∩C = #C∩A = #A∩B∩C= n / 3 ではないでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/462
463: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:42:33.91 ID:kLdlq8Gi >>454 t + u + v = n となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数をまず求める。 補題： k を 0 以上の整数とする。 x + y = k となるような 0 以上の整数の組 (x, y) は、 k + 1 個ある。 証明： 全ての解を並べると、 (0, k), (1, k - 1), …, (k, 0) だから、解は全部で k + 1 個ある。 t = 0 のとき、 u + v = n - t = n + 0 = n となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、 補題より、 n + 1 個ある。 t = 1 のとき、 u + v = n - t = n - 1 となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、 補題より、 n 個ある。 t = 2 のとき、 u + v = n - t = n - 2 となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、 補題より、 n - 1 個ある。 … t = n のとき、 u + v = n - t = n - n = 0 となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、 補題より、 1 個ある。 ∴ t + u + v = n となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数は、 (n + 1) + (n) + (n - 1) + … + 1 = (n + 1) * (n + 2) / 2 個である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/463
464: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:46:10.11 ID:kLdlq8Gi 次に、 t + u + v = n となるような 1 以上の整数の組 (t, u, v) の個数を求める。 その個数は、 (t + 1) + (u + 1) + (v + 1) = n となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数に等しい。 t + u + v = n - 3 となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数は、 >>463 より、 (n - 2) * (n - 1) / 2 個である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/464
465: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:49:14.59 ID:kLdlq8Gi U := {(t, u, v) | t + u + v = n, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}} A := {(t, u, v) | t + u + v = n, t = u, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}} B := {(t, u, v) | t + u + v = n, u = v, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}} C := {(t, u, v) | t + u + v = n, v = t, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}} とおく。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/465
467: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:52:15.57 ID:kLdlq8Gi >>464 より、 #U = (n - 2) * (n - 1) / 2 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/467
468: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:56:34.14 ID:kLdlq8Gi 次に、 2*t + v = n となるような 1 以上の整数の組 (t, v) の個数を求める。 全ての解を並べると、 (t, v) = (1, n - 2), …, (n/2 - 1, 2) だから、解は全部で n/2 - 1 個ある。 ∴ #A = n/2 - 1 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/468
469: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:57:52.45 ID:kLdlq8Gi 同様にして、 #B = n/2 - 1 #C = n/2 - 1 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/469
470: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 15:03:08.51 ID:kLdlq8Gi A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = A ∩ B ∩ C = {(t, u, v) | t + u + v = n, t = u = v, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}} = {(t, t, t) | 3*t = n, t ∈ {1, 2, 3, …}} である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/470
471: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 15:05:59.19 ID:kLdlq8Gi 3*t = n となるような t の個数は 1 個であるから、 #(A ∩ B) = #(B ∩ C) = #(C ∩ A) = #(A ∩ B ∩ C) = 1 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/471
473: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 15:14:47.41 ID:kLdlq8Gi 包除原理により、 #(A ∪ B ∪ C) = #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #(B ∩ C) - #(C ∩ A) + #(A ∩ B ∩ C) = 3*(n/2 - 1) - 3*1 + 1 = (3/2)*n - 5 である。 #U - #(A ∪ B ∪ C) = (n - 2) * (n - 1) / 2 - ((3/2)*n - 5) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/473
474: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 15:15:47.46 ID:kLdlq8Gi #U - #(A ∪ B ∪ C) = (n - 2) * (n - 1) / 2 - ((3/2)*n - 5) = (1/2) * (n^2 - 6*n + 12) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/474
475: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 15:19:36.56 ID:kLdlq8Gi #U - #(A ∪ B ∪ C) は、 t + u + v = n となるような互いに異なる 1 以上の整数の組の個数である。 t + u + v = n かつ t < u < v となるような 1 以上の整数の組の個数は、その 1/3! 個である。 ∴(1/12) * (n^2 - 6*n + 12) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/475
481: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:14:18.29 ID:kLdlq8Gi n-1C2 これは、 a + b + c = n かつ 1 ≦ a < b となるような解の数です。 (n/3−1)×3 これは、 a + a + b = n かつ 1 ≦ a < b a + b + a = n かつ 1 ≦ a < b b + a + a = n かつ 1 ≦ a < b となるような解の数です。 (n/6−1)×3 これは、 a + b + b = n かつ 1 ≦ a < b b + a + b = n かつ 1 ≦ a < b b + b + a = n かつ 1 ≦ a < b となるような解の数です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/481
482: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:15:01.51 ID:kLdlq8Gi 訂正します： n-1C2 これは、 a + b + c = n かつ 1 ≦ a, b, c となるような解の数です。 (n/3−1)×3 これは、 a + a + b = n かつ 1 ≦ a < b a + b + a = n かつ 1 ≦ a < b b + a + a = n かつ 1 ≦ a < b となるような解の数です。 (n/6−1)×3 これは、 a + b + b = n かつ 1 ≦ a < b b + a + b = n かつ 1 ≦ a < b b + b + a = n かつ 1 ≦ a < b となるような解の数です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/482
483: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:18:34.07 ID:kLdlq8Gi 1 これは、 a + a + a = n かつ 1 ≦ a となるような解の数です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/483
486: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:38:14.73 ID:kLdlq8Gi n = 18 の場合を考えます。 binomial(n - 1, 2) は以下の解に対応します。 {1, 1, 16} = {t, u, v} {1, 2, 15} = {t, u, v} {1, 3, 14} = {t, u, v} {1, 4, 13} = {t, u, v} {1, 5, 12} = {t, u, v} {1, 6, 11} = {t, u, v} {1, 7, 10} = {t, u, v} {1, 8, 9} = {t, u, v} {2, 2, 14} = {t, u, v} {2, 3, 13} = {t, u, v} {2, 4, 12} = {t, u, v} {2, 5, 11} = {t, u, v} {2, 6, 10} = {t, u, v} {2, 7, 9} = {t, u, v} {2, 8, 8} = {t, u, v} {3, 3, 12} = {t, u, v} {3, 4, 11} = {t, u, v} {3, 5, 10} = {t, u, v} {3, 6, 9} = {t, u, v} {3, 7, 8} = {t, u, v} {4, 4, 10} = {t, u, v} {4, 5, 9} = {t, u, v} {4, 6, 8} = {t, u, v} {4, 7, 7} = {t, u, v} {5, 5, 8} = {t, u, v} {5, 6, 7} = {t, u, v} {6, 6, 6} = {t, u, v} (n/3 - 1)×3 は以下の解に対応します。 {1, 1, 16} = {t, u, v} {2, 2, 14} = {t, u, v} {3, 3, 12} = {t, u, v} {4, 4, 10} = {t, u, v} {5, 5, 8} = {t, u, v} (n/6 - 1)×3 は以下の解に対応します。 {2, 8, 8} = {t, u, v} {4, 7, 7} = {t, u, v} 1 は以下の解に対応します。 {6, 6, 6} = {t, u, v} http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/486
487: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:43:52.04 ID:kLdlq8Gi >>480 の解答では、包除原理を使わないで済みますね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/487
489: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:58:57.40 ID:kLdlq8Gi ジィエンジィエン、自演じゃありません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/489
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