[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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460: 2020/03/06(金)14:25 ID:kLdlq8Gi(1/20) AAS
>>459
#U = (n - 1) * (n - 2) / 2
ではないでしょうか？
461: 2020/03/06(金)14:29 ID:kLdlq8Gi(2/20) AAS
#A = #B = #C = n / 2
ではないでしょうか？
462: 2020/03/06(金)14:31 ID:kLdlq8Gi(3/20) AAS
#A∩B = #B∩C = #C∩A = #A∩B∩C= n / 3
ではないでしょうか？
463(1): 2020/03/06(金)14:42 ID:kLdlq8Gi(4/20) AAS
>>454
t + u + v = n
となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数をまず求める。
補題：
k を 0 以上の整数とする。
省16
464(1): 2020/03/06(金)14:46 ID:kLdlq8Gi(5/20) AAS
次に、
t + u + v = n
となるような 1 以上の整数の組 (t, u, v) の個数を求める。
その個数は、
(t + 1) + (u + 1) + (v + 1) = n
省6
465: 2020/03/06(金)14:49 ID:kLdlq8Gi(6/20) AAS
U := {(t, u, v) | t + u + v = n, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
A := {(t, u, v) | t + u + v = n, t = u, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
B := {(t, u, v) | t + u + v = n, u = v, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
C := {(t, u, v) | t + u + v = n, v = t, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
とおく。
467: 2020/03/06(金)14:52 ID:kLdlq8Gi(7/20) AAS
>>464
より、
#U = (n - 2) * (n - 1) / 2 である。
468: 2020/03/06(金)14:56 ID:kLdlq8Gi(8/20) AAS
次に、
2*t + v = n
となるような 1 以上の整数の組 (t, v) の個数を求める。
全ての解を並べると、 (t, v) = (1, n - 2), …, (n/2 - 1, 2) だから、解は全部で n/2 - 1 個ある。
∴
省2
469: 2020/03/06(金)14:57 ID:kLdlq8Gi(9/20) AAS
同様にして、
#B = n/2 - 1
#C = n/2 - 1
である。
470: 2020/03/06(金)15:03 ID:kLdlq8Gi(10/20) AAS
A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A
=
A ∩ B ∩ C
=
{(t, u, v) | t + u + v = n, t = u = v, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
省3
471: 2020/03/06(金)15:05 ID:kLdlq8Gi(11/20) AAS
3*t = n
となるような t の個数は 1 個であるから、
#(A ∩ B) = #(B ∩ C) = #(C ∩ A)
=
#(A ∩ B ∩ C)
省3
473: 2020/03/06(金)15:14 ID:kLdlq8Gi(12/20) AAS
包除原理により、
#(A ∪ B ∪ C)
=
#A + #B + #C
- #(A ∩ B) - #(B ∩ C) - #(C ∩ A)
省9
474: 2020/03/06(金)15:15 ID:kLdlq8Gi(13/20) AAS
#U - #(A ∪ B ∪ C)
=
(n - 2) * (n - 1) / 2 - ((3/2)*n - 5)
=
(1/2) * (n^2 - 6*n + 12)
475(1): 2020/03/06(金)15:19 ID:kLdlq8Gi(14/20) AAS
#U - #(A ∪ B ∪ C)
は、
t + u + v = n
となるような互いに異なる 1 以上の整数の組の個数である。
t + u + v = n かつ t < u < v
省3
481: 2020/03/06(金)17:14 ID:kLdlq8Gi(15/20) AAS
n-1C2
これは、
a + b + c = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
(n/3−1)×3
省11
482: 2020/03/06(金)17:15 ID:kLdlq8Gi(16/20) AAS
訂正します：
n-1C2
これは、
a + b + c = n かつ 1 ≦ a, b, c
となるような解の数です。
省12
483: 2020/03/06(金)17:18 ID:kLdlq8Gi(17/20) AAS
1
これは、
a + a + a = n かつ 1 ≦ a
となるような解の数です。
486(1): 2020/03/06(金)17:38 ID:kLdlq8Gi(18/20) AAS
n = 18 の場合を考えます。
binomial(n - 1, 2) は以下の解に対応します。
{1, 1, 16} = {t, u, v}
{1, 2, 15} = {t, u, v}
{1, 3, 14} = {t, u, v}
{1, 4, 13} = {t, u, v}
{1, 5, 12} = {t, u, v}
省33
487: 2020/03/06(金)17:43 ID:kLdlq8Gi(19/20) AAS
>>480
の解答では、包除原理を使わないで済みますね。
489: 2020/03/06(金)17:58 ID:kLdlq8Gi(20/20) AAS
ジィエンジィエン、自演じゃありません。
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