現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む80

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467: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/01/12(日) 10:49:57.14 ID:Br/n5zWR

>>466
つづき

動機づけと定義
層は開集合上定義されるが，基礎位相空間 X は点からなる．X の固定された一点 x における層の振る舞いを分離しようとすることは合理的である．
概念的に言えば，点の小さい近傍を見ることでこれをする．x の十分小さい近傍を見れば，その小さい近傍上での層 Fの振る舞いはその点での Fの振る舞いと同じはずである．
もちろん，1つの近傍だけでは十分小さくはなく，ある種の極限を取らなければならない．
正確な定義は以下のようである：  F の x における茎は，通常 Fx と書かれ，
Fx:=lim _{U∋ x}→F(U)
である．ここで直極限は x を含むすべての開集合で添え字付けられ，順序関係は逆包含から誘導される（ U⊃ V のとき U < V）．
直極限の定義（あるいは普遍性）により，茎の元は元  x_U∈ F(U) の同値類である，
ただし2つのそのような切断 xU と xV は2つの切断の制限が x のある近傍上で一致するときに同値であると考える．

注意
x を含む任意の開集合 U に対して自然な射 F(U) → Fx が存在する：それは F(U) における切断 s をその芽 (germ), すなわち直極限におけるその同値類に送る．
これは芽の通常の概念の一般化であり，X 上の連続関数の層の茎を見ることで復元できる．

滑らかな関数の層
対照的に，滑らかな多様体上の滑らかな関数の層に対しては，芽は局所的な情報を含んではいるが，任意の開近傍上の関数を再構成するには十分ではない．
例えば，f: R → R を原点のある近傍で恒等的に 1 で原点から遠く離れたところでは恒等的に 0 である隆起関数とする．
原点を含む任意の十分小さい近傍上 f は恒等的に 1 なので，原点において，値が 1 の定数関数と同じ芽を持つ．f をその芽から再構成したいとしよう．
f が隆起関数であると前もって知っていたとしてさえ，芽はその隆起がどのくらい大きいかを教えてくれない．芽が教えてくれることからは，隆起は無限に広くてもよい，
つまり，f は値 1 の定数関数に等しいかもしれない．原点を含む小さい開近傍 U 上で f を再構成することさえできない，
なぜならば f の隆起が U におさまっているかどうかとか隆起が大きくて f が U 上恒等的に 1 であるかどうかは分からないからである．
以上
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/467

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