現代数学の系譜　カントル　超限集合論2

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論2 (1002ﾚｽ)
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365: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/01(日) 11:42:51.03 ID:siseuOIi

>>364 補足
この話は、過去スレで、ジムの数学徒氏が書いているが、集合の可測非可測ではなく、
「時枝の戦略関数が可測かどうか」と、「確率論の公理の要請」を満たせるかどうか？
が、本質なんだ。で、彼は下記で、”満たせない”ということを証明しているのです（＾＾；

（参考）
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/271
(抜粋)
271 2020/01/10 ID:jmw8DMZb [9/12]
さて時枝が記事の中での定義では戦略に用いられる関数が可測とは限らないというのはまぁ間違いない。
そこで時枝戦略をもう少し詳しく検証する。
改めて>>235。
時枝の与えた戦略関数はDの選択として例えば
D:=max{d(y),d(z)}+1
t:=r(C(x))[D]
をとればよいというもの。
この確率変数が求める条件を満たす理由が
P(t=x[D])
≧P(t=x[D]|d(x)≦D)P(d(x)≦D)
≧1×2/3
という式変形により保証されるというもの。
よって結局確率変数d(x)などが満たしていなければならない条件とは
(1) P(d(x)>d(y),d(z))≦1/3。
(2) P(∀i≧D x[i]=r(C(x))[i] | d(x)≦D)=1
である。
この２つの条件が満たされない限り時枝の議論は成立しない。
ところがこの(2)の条件は確率論の公理の要請に反してしまう。
何故ならば(2)を認めるならば任意のkに対して
P(∀i≧k x[i]=y[i] | d(x)≦k ∧ d(y)≦k)=1
が満たされなければならないが、一方で
P(∀i≧k x[i]=y[i] | d(x)≦k ∧ d(y)≦k)P(d(x)≦l∧d(y)≦k)
= P(∀i≧k x[i]=y[i] ∧ d(x)≦k ∧ d(y)≦k)
≦ P(∀i≧k x[i]=y[i])
=0
となってしまいP(d(x)≦k∧d(y)≦k)は任意の定数kに対して0になる事が要請されてしまう。
つまりこの二つの条件を満たす確率変数は絶対に取る事ができない、すなわち時枝記事の定義の方法がまずいのではなく、そもそも時枝戦略を構成する関数はその中核である条件(1),(2)を要請してしまうと可測関数にはなり得ない事がわかる。
というわけで時枝記事を数学的に正当化する手段は少なくとも確率論の中にはない。
確率論の技術以外に時枝記事を正当化する方法がある可能性はもちろん否定しません。
あるならどうぞ提出して下さいというところですかね。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/365

669: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/03/26(木) 18:21:54.03 ID:Toc1jVc8

>>663
ｗ（＾＾；
https://fujicategory.hatenadiary.org/entry/20110721/1311211333
数学基礎論の勉強ノート id:fujicategory
2011-07-21
レーヴェンハイム・スコーレムの定理！！
(抜粋)
第５章
まずは定理の引用から。（新井敏康「数学基礎論」より）
定理５.１.７（上方(Upward)Lowenheim-Skolem 定理）
１．言語Ｌでの公理系Ｔがどんなにも大きい有限モデルをもてばあるいは無限モデルをもてば
　　どんな無限基数κ?card(L)についても
　　ＴのモデルNで濃度κのものが存在する．
すごいのは、この定理から導かれる系５.１.１０。
この系によれば、公理系Ｔが無限モデルをもてば、Ｔの濃度κのモデルＭで、Ｍで定義できる無限集合の濃度がすべてＭと同じκになるようなものが作れます。
すると、たとえばＺＦＣの(有限部分の)モデルで、モデル内で定義できる無限集合がすべて可算濃度ωになるものが存在します。

http://www.cs-study.com/koga/set/lowenheimSkolem.html
形式的論理体系の定義から
レーベンハイム・スコーレムの定理までの大急ぎのまとめ
by Akihiko Koga
17th Jan. 2019 (Update)
(抜粋)
目次
概要
記号論理の文法 (Syntax) と意味 (Semantics)
記号論理とモデルの説明（詳細編）
レーベンハイム・スコーレムの定理と集合論での解釈
レーベンハイム・スコーレムの定理の証明
完全性定理を使った証明のアウトライン
（補足）（ダウンワード）レーベンハイム・スコーレムの定理成立の本質
二階述語論理などの関連事項
雑感

（補足）
（ダウンワード）レーベンハイム・スコーレムの定理成立の本質
当然のことながら証明は厳密にしなければならないのだが，レーベンハイム・スコーレムの 定理が成り立つ本質的な理由は，

有限，あるいは可算無限個の関数記号や述語記号から 作り出すことができる要素の総体は可算無限個である
ことによる．これは上の証明の中の Termσ/〜Σ を 考えればわかる．
ちなみに我々の自然言語も有限のアルファベットあるいはかななどからなるので， それらの言葉で直接指し示すことができる数学的概念も，高々可算無限個である． 我々が直接言葉で表すことができるものは結構少ないのだ． 2019.01.17 (木)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/669

759: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/28(土) 21:27:42.03 ID:MRwZqC/h

>>723 補足
　確率空間？（>>747-748）ｗｗ
iid(独立同分布)を仮定すると
可算無限個の箱があっても
箱が1つの場合と同じ確率空間で扱える

これ、確率論の常識ですょ！！
ほとんど、自明でしょｗ
例えば、サイコロの場合、下記です（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E7%A9%BA%E9%96%93
確率空間
(抜粋)
定義
数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。
このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象と呼ぶ。また、E の元としての S を全事象という。
事象 E に対し、P の E における値 P(E) を、事象 E の確率という。つまり、E は確率が定義できることがらの集まりである。
必ずしも S の部分集合全てが事象とはならないことに注意されたい。

例
・実数からなる区間 [0, 1] とそのボレル集合族 B からなる可測空間 ([0, 1], B) 上でルベーグ測度 μ を考えれば、μ([0, 1]) の値は区間の長さ |[0, 1]| = 1 ? 0 = 1 に等しいので、μ は ([0, 1], B) 上の確率測度であり、三つ組 ([0, 1], B, μ) は確率空間になる。
・サイコロ投げの確率空間は次のようなものである：
　S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = 2^S, P({k}) = 1/6 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

https://mathtrain.jp/probspace
確率空間の定義と具体例（サイコロ，コイン） | 高校数学の美しい物語 2015/11/06
(抜粋)
確率空間とは (Ω,F,P) の三つ組のことを言います
ただし，
・Ω は集合
・F は Ω の部分集合族（σ -加法族）
・P は F から実数への非負関数（確率測度）
これだけだとよく分からないと思うので，以下で一つずつ解説していきます。
とりあえず「測度論的確率論では，確率を議論するときには確率空間というものの上で考える。そして，確率空間は3つの物のセットのことを表す」と覚えておいて下さい

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/759

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