現代数学の系譜　カントル　超限集合論2

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553: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/20(金) 11:34:24.47 ID:+qJdNaLm

＜転載＞
0.99999……は１ではない　その７
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1584625377/79-80
(抜粋)
79 2020/03/20(金)  ID:WMaa4Quj
conglomerabilityの定義を理解した上でPrussの論文を読み直せば、
自説がPrussによって真正面から否定されてると理解できます

80 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/03/20(金) ID:+qJdNaLm
おサルさん、DR Pruss氏は、mathoverflowの彼の回答の前段で、conglomerabilityを出しているが
（下記引用ご参照）
最後は、”the function is measurable”が不成立だから、”dumb（ダメダメ） strategy”と言っているよ
（下記の通り）
QED
（＾＾；

（参考）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
DR Pruss氏
(抜粋)
By a conglomerability assumption, we could then conclude that P(X<=Y)=0, which would be absurd as the same reasoning would also show that P(Y<=X)=0.

In general, Mj will be nonmeasurable (one can prove this in at least some cases). We likewise have no reason to think that M is measurable. But without measurability, we can't make sense of talk of the probability that the guess will be correct.

That's a fine argument assuming the function is measurable. But what if it's not?

So there is an extension P′ of P such that P′-almost surely the dumb strategy works. Just let P′ be an extension on which the set of representatives has measure 1 and note that the dumb strategy works on the set of representatives.

http://www.mdpi.com/2073-8994/3/3/636
Symmetry and the Brown-Freiling Refutation of the Continuum Hypothesis
by Paul Bartha
Symmetry 2011, 3(3), 636-652;

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/553

554: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/20(金) 12:00:58.15 ID:+qJdNaLm

>>553
DR Pruss氏は下記で、conglomerabilityの正確な意味がいまいち分からんけど
要するに”nonmeasurable”で、測度論的確率から外れているということでしょう （＾＾；

https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Pruss
Alexander Robert Pruss (born January 5, 1973) is a Canadian mathematician, philosopher, Professor of Philosophy and the Co-Director of Graduate Studies in Philosophy at Baylor University in Waco, Texas.

Pruss graduated from the University of Western Ontario in 1991 with a Bachelor of Science degree in Mathematics and Physics.
After earning a Ph.D. in Mathematics at the University of British Columbia in 1996 and publishing several papers in Proceedings of the American Mathematical Society and other mathematical journals,[4] he began graduate work in philosophy at the University of Pittsburgh.

https://books.google.co.jp/books?id=RXBoDwAAQBAJ&pg=PA77&dq=Pruss+conglomerability&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwjplc_N8qfoAhWJ7WEKHXwVDuoQ6AEIKDAA#v=onepage&q=Pruss%20conglomerability&f=false
Infinity, Causation, and Paradox
著者: Alexander R. Pruss
（P76-77 に conglomerabilityの説明があるが、正確な定義は分からないが、
　P76に”But typically, where there is no coutable additibity, there is lack of conglomerability(Scervish,Seidenfeld,and Kanade 1984).”
　と記されているので、”coutable additibity ”即ち σ-加法性 と密接に関連した（多分”σ-加法性”を拡張した）概念だと思う）
（更に附言すれば、現代の測度論的確率が、σ-加法性をベースに成立っているとすれば、DR Pruss氏の指摘は、要するに”nonmeasurable”で、測度論的確率から外れているということでしょう （＾＾； ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/554

556: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/20(金) 14:16:36.13 ID:+qJdNaLm

>>554
（補足）
本 「Infinity, Causation, and Paradox」 著者: Alexander R. Pruss
は、2018発行な

さて
>DR Pruss氏は下記で、conglomerabilityの正確な意味がいまいち分からんけど

conglomerabilityは、下記の Reliability and Risk: A Bayesian Perspective 2006
では、ベイズ理論で、σ-加法性の代わりに使われる概念みたいだな（下記）

（参考）
https://books.google.co.jp/books?id=szLqBTXsyJQC&pg=PA23&dq=Pruss+conglomerability&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwjplc_N8qfoAhWJ7WEKHXwVDuoQ6AEIMzAB#v=onepage&q=conglomerability&f=false
Reliability and Risk: A Bayesian Perspective 2006
著者: Nozer D. Singpurwalla
P13
conglomerabilityの公理というのがあって
コルモゴロフの確率公理のσ-加法性の代わりに
導入されたものらしい。
詳しくは、2.5, 5.2.3, 5.3.2を見ろってことらしい（本を買う気がないのでスルー（大学生なら図書に入れてもらえば良い））

（なお、検索で見つけた論文では、下記が一番 conglomerabilityについて詳しい）
http://www-dimat.unipv.it/~rigo/
Pietro Rigo Dipartimento di Matematica “F. Casorati”Universita di Pavia - Italia
http://www-dimat.unipv.it/~rigo/cong.pdf
International Journal of Approximate Reasoning, 88, 387-400.
Basic ideas underlying conglomerability and disintegrability June 16, 2017
Abstract
The basic mathematical theory underlying the notions of conglomerability and
disintegrability is reviewed. Both the precise and the imprecise cases are concerned.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/556

564: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/21(土) 19:29:35.20 ID:gPebnXHG

>>563
くっくっくっ
おサルは選択公理が分かっていないなｗ(゜ロ゜；

定義（下記より）
選択公理：空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる

さて、ここに 集合族が有限なら有限集合の族に対する選択公理（以下有限選択公理と称する）、可算なら可算選択公理、可算超えならフルパワー選択公理だ
いま同値類が１つあり代表を1つ選ぶだけなら、有限選択公理で間に合う
同様に、有限ｎ個の同値類から代表をｎ個を選ぶのも同じく、有限選択公理で間に合う

時枝では、有限ｎ個の同値類から代表をｎ個を選ぶことができれば、最低限それで十分だ
（もちろん、ヒマなら もっと多くの同値類から代表を選べ。ご苦労だが、必要以上のそれらは 使わんから、無駄だがねｗ）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
(抜粋)
定義
空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。
あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族  A に対して写像  f： A→∪A:= ∪A∈ A であって任意の  x∈ A に対し  f(x)∈ x なるものが存在する、と写像を用いて言い換えることが出来る（ここで存在が要求される写像 f を選択関数（英語版）という）。これは次の命題と同値である。
{Aλ}λ∈Λ をどれも空集合でないような集合の族とすると、それらの直積も空集合ではない。記号で書けば、
(∀λ ∈ Λ )[A_λ≠ Φ →  Π_λ∈ Λ A_λ ≠ Φ .
歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。 実際、有限個の集合からなる集合族であれば、そのそれぞれの集合の中から順に1つずつ元を選び出し、それらを併せて集合とすればよいのであるから、このような操作ができることは自明である。
選択公理の変種
選択公理には様々な変種が存在する。
可算選択公理
有限集合の族に対する選択公理

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/564

573: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/21(土) 20:28:59.97 ID:gPebnXHG

>>568
おサルさー、おまえ mathoverflowの DR Pruss氏議論が分かっていない 質問者 Denis氏そっくりの理解じゃんかｗ(゜ロ゜；
DR Pruss氏は、”That's a fine argument assuming the function is measurable. But what if it's not?”ってあるよね

で、質問者 Denis氏は、この議論には、全く入れなかった
ただ、壊れたレコードのように
”Our choice of index i is made randomly, but for this we only need the uniform distribution on {0,…,n}. It is made independently of the opponent's choice. ? Denis Dec 17 '13 at 15:21”
を繰返したのだった（＾＾；

（>>553より参考）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
DR Pruss氏
(抜粋)
By a conglomerability assumption, we could then conclude that P(X<=Y)=0, which would be absurd as the same reasoning would also show that P(Y<=X)=0.

That's a fine argument assuming the function is measurable. But what if it's not?

http://www.mdpi.com/2073-8994/3/3/636
Symmetry and the Brown-Freiling Refutation of the Continuum Hypothesis
by Paul Bartha
Symmetry 2011, 3(3), 636-652;

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/573

586: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/22(日) 09:53:17.78 ID:TMbOZsnt

>>582
おサル、それ誤読だよ
”misunderstanding”は、下記引用の3)のとこでしょ
でも、面白いね、文献の”philosophical reason”の「 independently」の
”orthodox (Kolmogorovian) probability theory”と異なる見方（哲学だけれど）

（>>553より参考）
https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice Denis氏 Dec 9 '13
DR Pruss氏
(抜粋)
show 6 more comments
1)Our choice of index i is made randomly, but for this we only need the uniform distribution on {0,…,n}. It is made independently of the opponent's choice. ? Denis Dec 17 '13 at 15:21
2)I was assuming that "independently" has the meaning it does in probability theory (P(AB)=P(A)P(B) and generalizations for σ-fields). But that does require a probabilistic description of the opponent's choice.
Of course, one could mean "independently" here in some non-mathematical causal sense. (And there may be philosophical reason for doing this: fitelson.org/doi.pdf )
Still, mixing the probabilistic with nonprobabilistic concepts might lead to some difficulties, though. ? Alexander Pruss Dec 18 '13 at 15:21
3)ah ok I see where the misunderstanding comes from, it's true that "independently" is ambiguous, because only one random variable is involved here.
But I think it still has a mathematical meaning in the sense "it does not depend on the opponent's choice", namely we have ∃x∀y where x is our strategy and y is our opponent's strategy (i.e. the sequence),
and we still win this game because we can choose devise a (probabilistic) strategy that works on all sequences. ? Denis Dec 19 '13 at 11:54

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/586

587: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/22(日) 09:53:44.14 ID:TMbOZsnt

>>586
つづき

4)What we have then is this: For each fixed opponent strategy, if i is chosen uniformly independently of that strategy (where the "independently" here isn't in the probabilistic sense), we win with probability at least (n?1)/n.
That's right. But now the question is whether we can translate this to a statement without the conditional "For each fixed opponent strategy". ? Alexander Pruss Dec 19 '13 at 15:05
5)How about describing the riddle as this game, where we have to first explicit our strategy, then an opponent can choose any sequence. then it is obvious than our strategy cannot depend on the sequence. The riddle is "find how to win this game with proba (n-1)/n, for any n." ? Denis Dec 19 '13 at 19:43
6)But the opponent can win by foreseeing what which value of i we're going to choose and which choice of representatives we'll make. I suppose we would ban foresight of i? ? Alexander Pruss Dec 19 '13 at 21:25
7)yes the order would be: 1)describe the probabilistic strategy 2)opponent choses a sequence 3)probabilistic variable i is instanciated ? Denis Dec 19 '13 at 23:02

(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/587

588: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/22(日) 10:02:49.23 ID:TMbOZsnt

>>586
>Of course, one could mean "independently" here in some non-mathematical causal sense. (And there may be philosophical reason for doing this: fitelson.org/doi.pdf )
(補足)
http://fitelson.org/doi.pdf
Synthese ・ September 2014?137 (3), 273-323
Declarations of Independence
Branden Fitelson and Alan Hajek
Abstract
According to orthodox (Kolmogorovian) probability theory, conditional probabilities are by definition certain ratios of unconditional probabilities. As a result, orthodox conditional probabilities are regarded as undefined whenever their antecedents have zero unconditional probability. This has important ramifications for the notion of probabilistic independence.
Traditionally, independence is defined in terms of unconditional probabilities (the factorization of the relevant joint unconditional probabilities). Various “equivalent” formulations of independence can be given using conditional probabilities.
But these “equivalences” break down if conditional probabilities are permitted to have conditions with zero unconditional probability.
We reconsider probabilistic independence in this more general setting. We argue that a less orthodox but more general (Popperian) theory of conditional probability should be used, and that much of the conventional wisdom about probabilistic independence needs to be rethought.
https://www.researchgate.net/publication/266136441_Declarations_of_Independence
同上
http://fitelson.org/
Branden Fitelson is Distinguished Professor of Philosophy at Northeastern University.
Before teaching at Northeastern, Branden held teaching positions at Rutgers, UC-Berkeley, San Jose State, and Stanford and visiting positions at the Munich Center for Mathematical Philosophy at LMU-Munich (MCMP @ LMU) and the Institute for Logic, Language and Computation at the University of Amsterdam (ILLC @ UvA).
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/588

589: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/22(日) 10:39:52.79 ID:TMbOZsnt

>>584-585

"分からない問題"スレで、完全にバカにされているおサル（下記）
因みに、下記「この日本語で何かが他人に伝わるのだろうか？」は
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/846-847
のおサル 発言でしょうね〜ｗ（＾＾

分からない問題はここに書いてね458
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/850-853
850 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/03/22(日) 09:17:51.68 ID:1BEnWcmA
この日本語で何かが他人に伝わるのだろうか？
851 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/03/22(日) 10:02:57.97 ID:BUSW/Nah [5/7]
>>846
>・同値関係の定義から、必ず列が一致する開始箇所が存在する
>　→そこが無限列の決定番号
一致するのは最初の項も一致していいのよ
そこから先ずっと一致しているその先頭という定義にしないとダメダメ
君こそ読めてないねｗ
852 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/03/22(日) 10:06:56.46 ID:BUSW/Nah [6/7]
>>768
>定義
>・２つの無限列s1,s2∈R^Nが、ある項から先の項が全て一致するとき「同値」
>・無限列s∈R^Nの「決定番号」dとは、無限列の同値類の代表元の
>　一致箇所の先頭となる項の箇所の番号
同値類の代表元「と」の「一致箇所」というのではダメだって
それだと初項が一致してしばらく一致しなくてあるところから先はずっと一致してるときの決定番号は1ということになるからね
定義を厳密にしなくてはいけないという意識を持たないのは数学的では無いね
853 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/03/22(日) 10:08:24.33 ID:BUSW/Nah [7/7]
>>847
ぷ
何を言わせたいか分かるから言わない
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/589

593: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/03/22(日) 11:42:53.49 ID:TMbOZsnt

>>450 補足
＜時枝理論の複数列の比較による確率計算を潰す試みｗ(゜ロ゜；　＞
広中−岡のエピソードの教訓により、さらに時枝を抽象化して（余計な要素を省いて） 考えてみよう

いま、問題の出題された数列
可算無限数列X：X1,X2,・・Xd,Xd+1,・・
に対し
無関係な人が数列を作ったとする
可算無限数列Y：Y1,Y2,・・Yd',Yd'+1,・・

ここに、d,d'はそれぞれの列の代表番号である
もし、d＜d'ならば、列Yの箱を開けて、d'を知り
列Xにおいて、Xd'+1から先のしっぽの箱を開けて
列Xの代表（rXとする）を知り、"rXd=Xd"と推測が的中することになる

ところで、数学的に疑問なのは
１．無関係な人が数列を作った列Yは、数学的に無関係でしょ？（数学を考えずとも無関係）
２．要するに、列Yとか無関係に、あるd'が取れて、d＜d'ならば、"rXd=Xd"と推測が的中するという時枝理論で
３．そして、２列だから、確率 P（d＜d'）＝1/2 というけれど、２列関係ないでしょ？！ｗ（＾＾；

（参考：時枝記事関連箇所）
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む80
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/52
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列s^1,s^2，・・・，s^100を成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
　第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， s^1〜s^(k-l),s^(k+l)〜s^100の決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
　いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・.いま
　D >= d(s^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってs^k(d)が決められるのであった.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/593

626: １３２人目の素数さん [] 2020/03/23(月) 20:09:37.51 ID:lDyHiL++

>>625
>１．時枝理論を 回答者に有利なようにルールを変えることができる
>　「同値類の代表は、回答者に有利に選び直せる」こととする
>２．そうすると、dmaxはいくらでも 大きく取れる
>　つまり、回答者が勝つためには、”d＜dmax”なる dmaxを選べば勝てるのだ
dが分かってないのにどうやってd＜dmaxとなるように選ぶの？

>　（∵ dmax=1とか、あり得ないけど、小さな数では明らかに勝てない。
そんなことはない。大きかろうが小さかろうがd≦dmaxなら勝てる。

>で、dmaxが好きなだけ大きくできることは自明で、そうすれば良い。可算無限長の数列だから）
好きなだけ大きくしてもいいが、どうやってd≦dmaxを保証するの？dが分からないのに。バカ？

>３．もし、大きなdmaxを選ぶことができれば、時枝理論では
>　「勝つ確率 P（d＜dmax）＝n/(n+1) 、即ち 1-ε」とできるという
論理がおかしい。「時枝理論では」と「もし、大きなdmaxを選ぶことが出来れば」は相容れない。
なぜなら時枝戦略でdmaxの決め方は決められてるし、時枝戦略とは違う決め方をするなら「時枝理論では」とは言えない。
頭腐ってる？

>　それは、d番目の箱からdmaxまで、dmax - d + 1 個の 箱の中の実数が、箱を開けずに的中できるということ
dが分かってないんだから、当てる箱はdmax番目。
d≦dmaxの場合、的中できるのはdmax番目以降のすべて（無限個）の箱。
まったく分かってないね。

>　dmaxは、いくらでも増やせるから、100万個でも1億個でも1兆個でも・・、箱を開けずに的中できる
>　これは、明らかにおかしい（矛盾）
まったく矛盾してない。
１兆個？少な過ぎｗ　無限個だよｗ　まったく分かってないね。

>４．この矛盾の原因は、有限の代表番号dの存在にある
>　よって、背理法により、”有限の代表番号dの存在”は否定された
決定番号＝∞とは同値でないという意味だｗ
それは代表の定義に反するｗ
バカ、ここに極まれりｗ

まったく分かってませんね。時枝戦略を論じたいなら正しく理解することから始めましょう。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/626

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