現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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19: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/10/19(土) 19:25:28.89 ID:ti2BclkQ

>>18

つづき

(スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/884- より)
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
(抜粋)
P3
S5の部分群
位数20： < (12345), (2354) > S5中の共役な群6個

http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/04kurano.pdf
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類
(抜粋)
P3
位数20 5個；
アーベル：C4 × C5, C2 × C2 × C5 ２個,
非アーベル： C5 semix C4, Q20, D20 ３個
P16
11 位数 20 の群の分類

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups
List of small groups
(抜粋)
List of small abelian groups
位数20
51 G202 Z20 = Z5 × Z4 Z10, Z5, Z4, Z2 GroupDiagramMiniC20.svg Cyclic. Product.
54 G205 Z10 × Z2 = Z5 × Z22 Z5, Z2 GroupDiagramMiniC2C10.png Product.

List of small non-abelian groups
位数20
50 G201 Q20 = Dic5 = <5,2,2> GroupDiagramMiniQ20.png Binary dihedral group
52 G203 Z5 semix Z4 GroupDiagramMiniC5semiprodC4.png Frobenius group
53 G204 Dih10 = Dih5 × Z2 = D20 GroupDiagramMiniD20.png Dihedral group, product
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/19

228: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 11:15:37.89 ID:fHUQGPHQ

>>226
つづき

非可換の場合（＾＾；
http://deepblueibm.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
All arts is quite useless
2017-03-24
非可換類体論とは

ブログの記事にある今や数論の中心に位置する一大プロジェクト保型形式とゼータ関数の不思議な関係、非可換類体論についてわかったことをまとめます。まだまだ整数論初心者なので逆に非可換類体論について教えてくれる人は教えてください。

1.類体論とは？
「ガロア群が可換」の場合しか示されてないんですね。その意味では人類はまだ類体論を攻略してません。

2.志村谷山予想とは？
フェルマーの最終定理と関係する予想(定理)として有名な志村谷山予想がありますがそれは実は2次元の非可換類体論だと考えることができます。

これを数学的に定式化すると、楕円関数のゼータ関数が必要になってきます。これは二次元のゼータ関数で
略
こういう式になります。

3.表現論とは

結論から言うと現代数論ではゼータ関数が重要なものでいかにしてゼータという対象に帰着できるかにかかってます。志村谷山予想もそうですが問題をゼータに直してわかりやすくしています。
ということは古典的な類体論もゼータ関数にまとめられるのではないか？という考えが思い浮かんでも不思議では無いでしょう。その等式を作るのがここで言う表現論の役割です。

ここで古典類体論を統一的なゼータ関数や表現論的なperspectiveで考えてみたいと思います。まずQ上の整数論を考えてみます。
ここで言う表現とは指標のことです。指標とは群から体への写像のことでここでは単位的な指標のみを扱うこととします。
Ｑの最大アーベル拡大のガロア群をＧ→Ｋ(これはＫの単数群)だとしたらこれを一次元ガロア表現と言います(単数群はその体の自己同型写像)。
有理数体はＱの最大アーベル拡大はクロネッカーウェイバーの定理によってＱ(μ)の集合と同型と考えれます。
そのＱ(μN)は(Ｚ/N)の単数群の集合と同型(円分体の基本定理)。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/228

419: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/03(日) 09:02:14.89 ID:apiWSBWV

>>418
つづき

http://reuler.blo（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
日々のつれづれ
ガウスの数学日記90　「広義に於けるsin.lemn.」 高瀬正仁 2012/07/28 23:46
(抜粋)
数学日記の第105項目については、高木先生も『近世数学史談』の一章を使って詳述しています。その章というのは第9章のことなのですが、その第9章には「書かれなかった楕円函数論」という表題が附されています。
これを要するに、ガウスはレムニスケート函数に対して成立する等式M(√2,1)=π/ωを糸口にして、楕円関数論という広大な大洋を発見したということになります。
数学日記のガウス全集版テキストにも詳しい註記がついていて、そのようなことが書かれていますし、ガウスの楕円関数論がどのようにして発見されたのか、経緯は明瞭にわかります。
ガウスはモジュラー関数さえ発見し、基本領域の図まで描いたと、高木先生は驚きを隠しません。
　高木先生の解説によると、ガウスは
　　　π/M(1,√(1+μ^2))=ω,　π/M(μ,√(1+μ^2))=ω’
と置き、これらを用いて無限級数
　　S(u)=(π/μω)(4 sin πν/(h^(1/2)+h^(-1/2))-4 sin 3πν/(h^(3/2)+h^(-3/2))+…)
を作り、これを「広義に於けるsin.lemn.」と呼びました。sin.lemn.というのはレムニスケート関数のことですから、「広義に於けるsin.lemn.」という以上、
ガウスははじめからレムニスケート関数の延長線上に位置を占める関数を、そのようなものが存在すると確信したうえで、探索していたことがわかります。
μ=1の場合、S(u)はレムニスケート関数そのものです。
　それでこのS(u)の正体は何かということですが、S(u)=sin φと置いてφの関数と見るとき、S(u)は実は楕円積分
　　　　　　u=∫dφ/√(1+μ^2 sin^2 φ)
の逆関数、すなわち楕円関数になります。そうしてωとω’は、この楕円積分の定値
　　　　　ω=∫_[0→π]dφ/√(1+μ^2 sin^2 φ)
　　　　　ω’=∫_[0→π]dφ/√(μ^2+sin^2 φ)
です。これで、出発点の等式M(√2,1)=π/ωが大きく一般化された状態が現れました。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/419

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