現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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149: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/22(火) 10:53:50.77 ID:u309yKT7

>>138-139
？
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
これは、Q上でも同じ

それで良いなら、
ガロア逆問題
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”

なんてことにはならないでしょ？　なんで、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”なの？
ある体E上で、PSL(2,16)を使って、拡大体Fがどうなるか？

どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください

>>46
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem
(抜粋)
( unsolved problems in mathematics)
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].

参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%8B%A1%E5%A4%A7
代数拡大
(抜粋)
抽象代数学において、体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。
L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。

例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。

すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる[1]。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。

a が K 上代数的であれば、K 係数の a による多項式全体の集合 K[a] は環であるだけでなく体である：K 上有限次の K の代数拡大である。逆もまた正しく、K[a] が体ならば a は K 上代数的である。特別な場合として、K = Q が有理数体のときは、Q[a] は代数体の例である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/149

713: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/09(土) 15:18:30.77 ID:aIAMZK1h

>>712
つづき

・2 : 全て PG(2,2) に同型
・3 : 全て PG(2,3) に同型
・4 : 全て PG(2,4) に同型
・5 : 全て PG(2,5) に同型
・6 : この位数の射影平面は存在しない（オイラーの士官36人の問題（英語版）として、タリーにより示された）。
・7 : 全て PG(2,7) に同型
・8 : 全て PG(2,8) に同型
・9 : PG(2,9) および三種類の異なる（同型でない）非デザルグ平面
・10 : この位数の射影平面は存在しない（計算機による膨大な計算の結果として証明された）。
・11 : すくなくとも PG(2,11) が挙げられる。他は知られていないが可能性はある。
・12 : この位数の射影平面は存在しないと予想されているが証明はされていない。

https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_plane
Projective plane

The archetypical example is the real projective plane, also known as the extended Euclidean plane.[1]
This example, in slightly different guises, is important in algebraic geometry, topology and projective geometry where it may be denoted variously by PG(2, R), RP^2, or P2(R), among other notations.
There are many other projective planes, both infinite, such as the complex projective plane, and finite, such as the Fano plane.

A projective plane is a 2-dimensional projective space, but not all projective planes can be embedded in 3-dimensional projective spaces.
Such embeddability is a consequence of a property known as Desargues' theorem, not shared by all projective planes.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/713

789: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/09(土) 18:35:02.77 ID:aIAMZK1h

>>107
＞それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
＞スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない

数学では、”「自明すぎるから誰も問題にしていない”ということはない
自明と思えることでも、必ずだれかが、言及している
見つかりましたよ

下記ですよね
”ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]”
「有限群は離散位相に関して射有限である」から、上記のウォーターハウスの定理ですね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
射有限群
(抜粋)
例
・有限群は離散位相に関して射有限である。
・F が F/K が有限次ガロア拡大であるような L/K の中間体すべてを亘るとき、有限ガロア群 Gal(F/K) が成す射影系の逆極限である。
　この射影系における射は、F2 ⊆ F1 なるとき、制限準同型 Gal(F1/K) → Gal(F2/K) で与えられる。
　得られる Gal(L/K) の位相はヴォルフガンク・クルルに因んでクルル位相 (Krull topology) として知られる。
　ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]が、
　このとき具体的にどのような体 K を選べばよいか決定する方法はいまだ知られていない。
　事実、多くの体 K で、どのような有限群が体 K 上のガロア群として得られるかということは一般にははっきりしない。
　このような問題は体 K に対するガロアの逆問題と呼ばれる（複素一変数の有理函数体のように、ガロアの逆問題が解決されている体もある）。

・代数幾何学において考察される基本群もまた射有限である。
　これは大雑把に言って、代数的には代数多様体の有限被覆だけしか「見る」ことができないということを反映するものであり、
　代数的位相幾何学における基本群は一般には射有限ではない。

参考文献
1^ William C. Waterhouse. Profinite groups are Galois groups. Proc. Amer. Math. Soc. 42 (1973), pp. 639?640.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/789

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