[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/

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47: {} ◆y7fKJ8VsjM [sage] 2019/10/20(日) 07:58:58.75 ID:n9MZ9SCV >>40 >素数次の既約方程式が可解なとき >そのガロア群がフロベニウス群になることは >ガロア第一論文に出てくる。 それ、安達氏も言ってたな。 位数はｐ（ｐ−１）で非可換群 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/47

85: {} ◆y7fKJ8VsjM [sage] 2019/10/20(日) 22:10:09.75 ID:n9MZ9SCV ＞何を言っているのか分かりません。 馬鹿は数学分からないんだから、とっとと数学板から去れｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/85

135: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/22(火) 08:57:02.75 ID:t2rCNfO0 スレ主は多分、ほとんど自分の頭で考えることができない どこに何が書いてあったかとかは知っていて それを切り貼りしているだけ。 情報の信憑性を天秤にかけて真偽を推定している感じ。 バカという言葉では言い表されない特異な脳の持ち主なのかもしれない。 勿論、数学板からは去ってほしいｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/135

172: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/24(木) 07:56:48.75 ID:G70Rid0Q >>171 つづき 例えば、L の正規部分拡大のうちで K の特定の元のべき根によって生成されるもの M の対称性を表す群 Gal (M/K)= Gal (L/K)/ Gal (L/M) は巡回群になる。 L が K のべき根拡大になっているかどうかは群 Gal(L/K) が可解群になっているかどうか。 このようにして分解体の自己同型を調べることで方程式の可解性について考察することができる。 より発展的な定式化 抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。 上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。 この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。 ガロア理論の基本定理 詳細は「ガロア理論の基本定理」を参照 体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。L と K の中間体 M と Gal(L/K) の部分群 H について次の式が成立つ。 M=L^Gal(L/M)},H= Gal(L/L^H). ただし、Gal(L/M) は拡大 L/M のガロア群であり、LH は L の元のうちで H の下で不変になっているもののなす L の部分拡大を指す。 したがって、L の中間体 M とガロア群 Gal(L/K) の部分群 H の間の対応 φ:M→H= Gal(L/M),ψ:M=L^H←H は互いに逆で、これらは全単射になることがわかる。 また、この対応はあきらかに包含関係を逆にしている。 つまり、M1 ⊃ M2 ならば φ(M1) ⊂ φ(M2), G1 ⊃ G2 なら ψ(G1) ⊂ ψ(G2) となる。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/172

214: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/26(土) 10:55:16.75 ID:fHUQGPHQ >>198 ID:QC0xCFfPさん、どうも。スレ主です。 ありがとう ありがとう 了解です あなたの言っているのは、 自由度を上げると解けるって話ですね 元は "ガロアの逆問題" （下記）： 基礎体Fと群G（非可換の場合も）が与えられたとき、拡大体Eを構成せよ 対して、 あなたの変形した問題： 群G（非可換の場合も）が与えられたとき、ある基礎体Fと拡大体Eの組が存在するか あなたの変形した問題では、自由度が上がって、基礎体Fと拡大体Eの組合わせが1つあれば良い それは、>>176に示したように、ガロア理論の基本定理と ケーリー（Cayley）の定理（>>129）から、 Snを十分大きく取れば、 任意の群Gに対して、 Gal(E/F) ＝Sn （n次対称群） 体：Q ⊆ F ⊆ K ⊆ E 　　↓↑（ガロア対応） 群：S'⊇ Sn⊇ G ⊇{e} から、「 K ⊆ E」の存在が示せるってことですね ”自由度を上げる”というのは、数学では、他にもいろいろありますね 整数解を求める前に、有理数解を求めるとか、代数的整数の解を求めてみるとかね （>>45より） （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 ガロア理論 (抜粋) 逆問題 与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/214

300: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/28(月) 07:43:03.75 ID:ivC57rPE >>289 >いやでも　may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？ 当然、そう読みました おそらく、手計算を越えて、 コンピュータの群論計算の探索で かなり大きな領域まで見つかっていないのでしょうね あと、なにか非存在を予想させる兆候があるのかもしれませんね 存在は1つ例を挙げればいいが、非存在を示すには、それなりの理論が必要になります よくあるのが、なにか指標を作って、非存在を示す例では、その指標の理論に合わないみたいな （因みに、よくある「ｙｙの存在定理」というのは、「ｘｘの条件で、ｙｙが存在する」みたいな記述ですね） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/300

312: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/29(火) 17:24:39.75 ID:wEoW+rwB >>310 補足 >リストを眺めていたが、確かに、#fieldsの規則性を見つけることができなかった >でも、なにか規則があるかもしれない > >確かに、17T7の#fields＝0は例外で >degree 18、19には、”#fields＝0”になる例は無かった ・#fields≠0は、一つ例を出せば良い ・しかし、#fields＝0を示すには、下記のケーニヒスベルクの「一筆書き」の不可能証明みたく、なにか理論がいるのでしょうね でも、まだ、そういう理論は、構築されていないのでしょう（＾＾； （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E7%AD%86%E6%9B%B8%E3%81%8D 一筆書き (抜粋) 目次 1 ケーニヒスベルクの七つの橋問題 1.1 問題 1.2 グラフ理論との関連 1.3 他の解法 2 一筆書き可能かどうかの判定法 3 一筆書きの解法 一筆書き可能かどうかの判定法 ある連結グラフが一筆書き可能な場合の必要十分条件は、以下の条件のいずれか一方が成り立つことである（オイラー路参照）。 ・すべての頂点の次数（頂点につながっている辺の数）が偶数 →運筆が起点に戻る場合（閉路） ・次数が奇数である頂点の数が2で、残りの頂点の次数は全て偶数　→運筆が起点に戻らない場合（閉路でない路） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/312

322: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/30(水) 18:00:20.75 ID:xePUfid4 >>321 補足 ＞たとえばp=7で ＞PSL(2,p)はP1(Fp)への推移的な作用で(p+1)次対称群に埋め込めるということ. ＞p=5,7,11の場合にしかp次対称群への埋め込みは存在しない ＞(位数pの元が存在することからそれ未満は不可能だとすぐに分かる.). このアナロジーでいうと pは奇素数として 一つずらして ”PSL(2,p-1)はP1(Fp-1)への推移的な作用で(p)次対称群に埋め込める” が、言えるのかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/322

415: １３２人目の素数さん [] 2019/11/03(日) 08:59:25.75 ID:XMxtFIH6 >>405 >いま知りたいのは、>>395 >”なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？ それは計算上というだけで証明されてはいないですね。 証明できれば少し大げさに言うと「歴史に残る」レベルの結果では。 かといって、数学科修士レベルが解けないとも言い切れない。 いい問題なのでは。 >PSL(2,16):2とは何か？ だから、それは>>329にあるようにPSL(2,16)とGal(F_q/F_p)の部分群との半直積群ですよ。 PSL(2,16)、PSL(2,16):2、PSL(2,16):4　の3つの群が生じてるわけですね。 http://galoisdb.math.upb.de/groups? によると 群によって発生確率が大きく違う。まずはその理由を知ることが基本でしょうね。 ガロア逆問題を本格的に勉強する必要がありますね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/415

439: １３２人目の素数さん [sage] 2019/11/03(日) 12:11:23.75 ID:1R9QCh1Q ◆e.a0E5TtKEが最近ヤケクソでコピペしまくってるのは せめて数学板のスレ人気だけは安達君に勝ちたいと思ってるから でも、もう安達君に人気で勝つのは無理だろう 0.999…=1？は、初心者ウケする鉄板ネタだからｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/439

935: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/11/13(水) 21:05:46.75 ID:nKB3D846 >>934 訂正（虫取り） 数学科＋（Python、ビッグデータ、ディープラーニング、AI）） 　↓ 数学科＋（Python、ビッグデータ、TensorFlow、ディープラーニング、AI） これでは、コンピュータのプログラムとしては、エラーが出て通らないな（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/935

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