現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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23: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/10/19(土) 20:26:01.58 ID:ti2BclkQ

>>16-17
ID:S/ONPb/Gさん、どうも。スレ主です。

>Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？

ここ、下記 松田　修 のべき根拡大 定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大　←→ 巡回群
が成立つ

これは、小島寛之のガロア本（下記）の
P208 べき根拡大の定理1と（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）
と同じです

これ、方程式のガロア理論では、多分頻出です

（参考）
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/
Matsuda’s Web Page 松田　修　
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/Tebooks.html
TSUYAMA E-MATH BOOKS
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/galios.pdf
PDF ガロア理論を理解しよう Osamu MATSUDA 津山高専 2018/11/16
(抜粋)
P76
10.2 べき根拡大

定理 61
体 K が 1 の原始 n 乗根 ζ （ζ≠ 1 (1 <= r <= n-1), ζn = 1）を含むとする．
(1) L が K の n 次巡回拡大であれば，L = K(α), Irr(α, K) = X^n - a となる α が存在する．
(2) もし L = K(α), α^n = a ∈ K であれば，L は K の巡回拡大である．
証明
略

https://gihyo.jp/dp/ebook/2019/978-4-297-10628-7
知の扉
【完全版】天才ガロアの発想力
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
著者
小島寛之　著
発売日
2019年7月6日
(抜粋)
2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。

第7章 5次以上の方程式が解けないからくり
ガロアの基本定理1の証明
解けない方程式の「からくり」はこうだ（それなり版証明）
P208 べき根拡大の定理1（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
解ける方程式の「からくり」はこうだ
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/23

595: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/08(金) 07:52:38.58 ID:9JDZmqGe

>>594

つづき

非可換ゲージ理論
1954年に楊振寧とミルズは核子の強い相互作用を説明するモデルを提唱した[2]。 彼らは、電磁相互作用のU(1)対称性の理論を一般化して、陽子と中性子のアイソスピンSU(2)対称性に基づいた理論を構築した。このモデル自体は実験と整合しなかったが非可換対称性に基づくヤン＝ミルズ理論として多くの理論の原型となった。

このアイデアは後に、弱い相互作用と電磁相互作用を統一する電弱相互作用への応用が見いだされた。さらに、非可換ゲージ理論は漸近的自由性と呼ばれる特徴を再現できることが判明したことで、ゲージ理論はより魅力的なものとなった。
漸近的自由性は強い相互作用の重要な特徴であると見なされていた。これにより、強い相互作用のゲージ理論を探求しようという動機が生まれた。
この理論は量子色力学と呼ばれ、クォークのカラーSU(3)対称性に基づくゲージ理論である。ゲージ理論は、量子電磁力学 (QED) 、量子色力学 (QCD) およびワインバーグ＝サラム理論の基礎をなしている。さらに、電磁相互作用、弱い相互作用および強い相互作用を統一する標準模型はゲージ理論の言葉で記述されている。

数学におけるゲージ理論
1970年代になって、マイケル・アティヤは古典的ヤン＝ミルズ方程式の数学的解決法の研究を始めた。1983年、アティヤの学生サイモン・ドナルドソンは滑らかな4次元微分可能多様体の分類では、位相同型の違いを除いた分類とは異なっていることを示す方向の研究を進めた。
マイケル・フリードマンは、ドナルドソンの研究成果を用いて、エキゾチック R4（英語版） の存在、すなわち、4次元ユークリッド空間とは異なるエキゾチックな微分構造（英語版）(Differential structure)が存在することを示した。
このことは、ゲージ理論自体が持つ基礎物理学における成功とは独立して、数学的構造に対するゲージ理論への関心を呼び起こした。1994年、エドワード・ウィッテンおよびネーサン・サイバーグは、超対称性に基づいたゲージ理論的テクニックを発見した。
ここでの方法はあるトポロジー的不変性の計算を可能とする方法でもある。これら、ゲージ理論からの数学への貢献は、この分野の新たな関心として注目されている。

ゲージ理論および場の量子論の歴史に関するより詳細な資料はPickeringの書籍を参照のこと
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/595

802: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/09(土) 21:08:53.58 ID:aIAMZK1h

>>317
>スレ主はPSL(2,16)の意味は分かってる？ 射影特殊線形群

なるほど、下記だね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%9B%B4%E7%B7%9A
射影直線
(抜粋)
数学の特に射影幾何学における射影直線（しゃえいちょくせん、英: projective line）は、俗に言えば通常の直線に無限遠点と呼ばれる補助的な点を付け加えて延長したものである。

斉次座標系

直線を無限遠点まで延長する
P1(K) は「直線」K を無限遠点で延長したものと同一視することができる。

対称性の群
極めて一般に、K に係数を持つ射影変換群が射影直線 P1(K) に作用する。
この群はこれら変換が射影的な特性を持つことを強調して PGL2(K) と書かれる。
この作用は推移的であり、したがって P1(K) は PGL2(K) の等質空間となる。
作用が推移的であるとは、任意の点 Q を別の任意の点 R に写すような射影変換が必ず存在するということである。
従って P1(K) 上の「無限遠点」とは座標系を選んだことによって生じた「人工物」に過ぎないのである。
実際、斉次座標（英語版） [X : Y] ~ [λX : λY] は二次元平面の非零な点 (X, Y) が載った一次元部分空間を表すが、
射影直線の対称性によって点 ∞ = [1 : 0] は他の点に写されるのだから、それらを区別する必要はない。

より強い事実が成立する。相異なる任意の三点 Qi (i = 1, 2, 3) が与えられたとき、
それを適当な射影変換を選んで他の任意の三点 Ri (i = 1, 2, 3) に写すことができる（三重推移性）。
組に属する点の数は、PGL2(K) は三次元なので、これ以上増やすことができない。即ち、この群作用は鋭三重推移的である。
このことの計算論的側面として 複比（英語版）がある。
実際、逆のことが一般化された形で成り立つ: 「体」を「KT-体」（乗法逆元をとる操作を適当な種類の対合に一般化する）に置き換え、
「PGL」もそのような場合の射影線型写像に一般化して考えるとき、
任意の鋭三重推移的群作用は必ず射影直線への一般化された PGL2(K) の作用に同型である[1]。

代数曲線としての性質

射影直線の函数体は、一つの不定元 T に関する K 上の有理函数体 K(T) である。
K(T) の K-自己同型群は、上でも述べた PGL2(K) に他ならない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/802

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