現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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64: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/20(日) 17:32:55.41 ID:f+LcfVi/

>>63

つづき

準備的注意
単拡大の概念は、主に次の二つの点から数学上の興味を集めている。
・単拡大は分類が完了している体拡大である。拡大の生成元が K 上超越的なら無限次拡大で有理関数体に同型（フランス語版）であり、 生成元 α が代数的なら拡大は有限で、α の K 上の最小多項式の根体に同型である。
・原始元の定理はすべての有限次分離拡大が単拡大であることを保証する。代数拡大はそのすべての元の最小多項式が重根をもたないときに分離的という。
有限拡大の分離性のいろいろな同値条件に加えて、代数拡大が分離的であるための十分条件は基礎体が完全体（例えば標数 0 あるいは有限体）であることである。
定義
L を K の体拡大とする。
拡大 L が単 (simple) 拡大であるとは、L のある元 α が存在して、α で生成された L の部分 K 拡大 K(α) が L に等しいことである。
L が単拡大とし g を L の元で L が K(g) に等しいとする。このとき g は L の K 上の生成元 (generating element) と呼ばれる。

http://peng225.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ペンギンは空を飛ぶ
2016-11-26
有限次分離拡大が単拡大となることの具体例を愚直に計算してみる
(抜粋)
体の拡大L/Kが有限次分離拡大であるとき、この拡大は単拡大になることが知られている。私が使っている教科書にもこの定理は載っており、具体例としてQ(2?√,3?√)=Q(2?√+3?√)が取り上げられていた。
しかし、その説明が私にはエレンガント過ぎて、なんともピンとこなかった。
私がとにかく疑問だったのは、一体Q(2?√+3?√)の元の四則演算でどうやって2?√や3?√を生み出せるのか、その具体的な計算手順は何かということだ。
タネが分かった今となっては難しくもなんとも無いが、同じ疑問でハマる人がいないとも限らないので、本稿を書いてみることにした。

手順はとても簡単だ。まず、2?√+3?√∈Q(2?√+3?√)である。これを3乗すると以下のようになる。
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/64

318: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/30(水) 17:11:54.41 ID:xePUfid4

>>308 追加

下記
”generic polynomials”
”Theorem 0.5.1. (Brumer) A generic polynomial for the dihedral group D5
of degree 5 over an arbitrary field K is given as follows:
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
over K(s, t) where s and t are indeterminates.”
は、興味深いね

http://library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf
Mathematical Sciences Research Institute
Publications 45
Generic Polynomials
Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem
Christian U. Jensen
University of Copenhagen
Arne Ledet
Texas Tech University
Noriko Yui
Queen’s University, Kingston, Ontario
university of cambridge
Mathematical Sciences Research Institute 2002
(抜粋)
0.5. Description of Each Chapter ・・・P9

We also exhibit generic polynomials for the groups of degree 3, 4 and 5. For instance, we
have the following result:
Theorem 0.5.1. (Brumer) A generic polynomial for the dihedral group D5
of degree 5 over an arbitrary field K is given as follows:
f(s, t,X) = X^5 + (t ? 3)X^4 + (s ? t + 3)X^3 + (t2 ? t ? 2s ? 1)X^2 + sX + t
over K(s, t) where s and t are indeterminates.

We also demonstrate the non-existence of a generic C8-polynomial over Q,
and as a consequence get the following two examples of fixed subfields of the
function field Q(s, t, u) in three indeterminates s, t, u, both with a C4-action,
where one is rational and the other not:
Theorem 0.5.2. (a) Let be the automorphism on Q(s, t, u) given by
略
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/318

417: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/03(日) 09:00:25.41 ID:apiWSBWV

>>416
つづき

その後 John Thompson が, c5 までをモンスターの既
約表現の次数の簡単な一次結合で書いた表と, このことの説明として各 n に
対し cn 次元のベクトル空間でモンスターの表現空間となっているものの存在
を問う短い論文29を書く. 例えばモンスターの既約指標の次数は小さい順に
1, 196883, 21296876, 842609326, . . . となっているが,
c1 = 196884 = 1 + 196883,
c2 = 21493760 = 1 + 196883 + 21296876,
c3 = 864299970 = 2 ・ 1 + 2 ・ 196883 + 21296876 + 842609326

29 Some numerology between the Fischer-Griess Monster and the elliptic modular function, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), 352?353.

といった具合である. それから間もなく, この Mckay-Thompson の観察は,
John Conway (三たび John だ) と Simon Norton による “Monstrous Moonshine” という論文30において, はるかに一般的かつ精密な形の予想として提
出され, それから十数年の後, Conway の弟子の Richard Borcherds により最
終的に解決された31. これらについては最近の原田耕一郎による本32や論説33,その他文献に譲る34

30Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), 308?339.
31Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras, Invent. Math. 109 (1992),405?444.
32モンスター 群のひろがり, 岩波書店 (1999).
33モンスターの数学, 「数学」51 巻 1 号 (1999).
34第 6 章参照

第6章 問題と文献
これからの問題のひとつとして考えられるのは, SL2(Z) を他の種数 0 の群に
して, そこでの j(τ) にあたるもの (“Hauptmodul”) の係数の公式を問うこと
であろう. そのための手がかりとなるべき Zagier の定理の一般化について,
何を考えればよいかということは Zagier の論文
D. Zagier: Traces of singular moduli, Max-Planck-Institut f¨ur Mathematik
Preprint Series 2000 (8)
http://www.mpim-bonn.mpg.de/html/preprints/preprints.html
に論じてある.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/417

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