現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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32: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/10/19(土) 23:27:41.08 ID:ti2BclkQ

メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E7%BE%A4%E3%81%A8%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96%E7%BE%A4
中心化群と正規化群
(抜粋)
群 G の部分集合 S の中心化群とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S の正規化群とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。S の中心化群と正規化群は G の部分群であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。

（正規化群）
中心化群の定義と似ているが同じではない。g が S の中心化群の元で s が S の元であれば、gs = sg でなければならないが、g が正規化群の元であれば、s とは異なってもよい t ∈ S に対して gs = tg である。

性質
下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1?3 による。
・S の中心化群と正規化群はともに G の部分群である。
・明らかに、CG(S) ⊆ NG(S) である。実は、CG(S) は必ず NG(S) の正規部分群である。
・CG(CG(S)) は S を含むが、CG(S) は S を含むとは限らない。S のすべての元 s, t に対して st = ts であれば含む。なので・もちろん H が G の可換な部分群であれば CG(H) は H を含む。
・S が G の部分半群であれば、NG(S) は S を含む。
・H が G の部分群であれば、H を正規部分群として含むような最大の G の部分群が NG(H) である。
・元 a ∈ G の属する共役類の大きさと中心化群の指数 [G : CG(a)] は等しい。
・群 G の部分群 H と共役な部分群の数と正規化群の指数 [G : NG(H)] は等しい。
・G の部分群 H は、NG(H) = H であるときに、G の自己正規化部分群と呼ばれる。
・G の中心はちょうど CG(G) であり、G がアーベル群であることと CG(G) = Z(G) = G は同値である。
・単集合に対して、CG(a) = NG(a) である。
・対称性により、S と T が G の 2 つの部分集合であれば、T ⊆ CG(S) と S ⊆ CG(T) は同値である。
・群 G の部分群 H に対して、N/C定理は、剰余群 NG(H)/CG(H) は H の自己同型群 Aut(H) の部分群に同型であるという定理である。NG(G) = G および CG(G) = Z(G) であるから、N/C theorem は、G/Z(G) は、G のすべての内部自己同型からなる、Aut(G) の部分群 Inn(G) に同型であるということも意味している。

https://en.wikipedia.org/wiki/Centralizer_and_normalizer
Centralizer and normalizer

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/32

250: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 21:50:11.08 ID:fHUQGPHQ

>>215
追加

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/67/3/67_0673246/_article/-char/ja/
数学/67 巻 (2015) 3 号/書誌
論説
高次元類体論の現在
??非アーベル化への展望と高次元Hasse原理??
斎藤 秀司
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/67/3/67_0673246/_pdf/-char/ja
論説 高次元類体論の現在 非アーベル化への展望と高次元Hasse 斎藤秀司 数学 ?2015
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%8E%E8%97%A4%E7%A7%80%E5%8F%B8
斎藤 秀司（さいとう しゅうじ、1957年10月16日 - ）は、日本の数学者。東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構教授。専門は数論幾何、代数幾何。
経歴
1981年東京大学大学院修士課程修了。1985年博士号を取得。東京大学助教授、東京工業大学教授、名古屋大学教授、東京大学教授を経て、東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構教授。
師は伊原康隆、加藤和也。
加藤和也との共同研究である高次元類体論の一般化は広く知られている。アーベルの定理の高次元化、代数的サイクル、高次元アーベル=ヤコビ写像などの研究もある。
受賞
1996年 - 日本数学会春季賞：類体論の一般化および代数的サイクルの研究

https://twitter.com/unaoya/status/724570367293952000
りす. ?@riss_gendarmery 2016年4月23日
高次元類体論 ってなにが高次元なんだろう…wiki見ると高次元大域体とかあったけどそれがなんなのかからわからない
梅崎直也 @unaoya 2016年4月25日
普通の類体論が代数体の整数環とか有限体上の曲線とか1次元のスキームを調べるのに対して（Z上有限生成な）次元の高いスキームを考える感じです。Galois側は基本群とかその表現とかで、アデール側はK群とかチャウ群とかを使います。
りす. @riss_gendarmery 2016年4月25日
なるほど！スキームの次元が高いということだったんですね！ありがとうございます！
梅崎直也@unaoya 2016年4月25日
高次元大域体というのは素体上有限生成な体ぐらいの意味だと思います。そのようなものを関数体にもつスキームを考えるかんじです。

つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/250

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