現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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71: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/20(日) 18:08:37.07 ID:f+LcfVi/

>>65
(引用開始)
Gal(L/Q)=F_20 なる可解5次方程式の分解体LとQの中間体として、Gal(M/Q)=C_4
となる中間体Mが存在しますが、逆にGal(F/Q)=C_4 なるFがあるとき、Fは上記のMとして実現するか？
という問題です。
(引用終り)

その話だと、いわゆるガロア対応で、体の拡大と正規部分群との対応じゃないですか？（下記）
答えは、YES
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
数学において、ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。

証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。
ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。

原始元定理を使うかなり簡単な証明もあるが、有限体の場合に異なる（しかしより簡単な）証明をする必要があるため、現代的な取扱いではほとんど用いられない[1]。

抽象的な言葉では「ガロア対応（英語版）が存在する」と述べられる。その多くの性質は単に形の上でのことであるが、実際の順序集合の同型写像を記述するにはいくらか作業を要する。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/71

130: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/22(火) 07:52:36.07 ID:u309yKT7

>>129
つづき

英文だが
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27s_theorem
Cayley's theorem
(抜粋)
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G.[1] This can be understood as an example of the group action of G on the elements of G.[2]

A permutation of a set G is any bijective function taking G onto G. The set of all permutations of G forms a group under function composition, called the symmetric group on G, and written as Sym(G).[3]

Cayley's theorem puts all groups on the same footing, by considering any group (including infinite groups such as (R,+)) as a permutation group of some underlying set.
Thus, theorems that are true for subgroups of permutation groups are true for groups in general. Nevertheless, Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups".[4]

The regular action used in the standard proof of Cayley's theorem does not produce the representation of G in a minimal-order permutation group.
For example, {\displaystyle S_{3}}S_{3}, itself already a symmetric group of order 6, would be represented by the regular action as a subgroup of {\displaystyle S_{6}}S_{6} (a group of order 720).[5]
The problem of finding an embedding of a group in a minimal-order symmetric group is rather more difficult.[6][7]
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/130

711: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/09(土) 15:17:19.07 ID:aIAMZK1h

有限位数の射影平面
”既に説明したように、各素数冪 p^n に対して同位数の射影平面が存在する。事実として、「知られている」全ての有限射影平面はその位数が素数冪である。
それ以外の位数についても有限射影平面が存在するかどうかというのは、未解決の問題である。
位数に関する一般的な制限として知られているのは、位数 N が法 4 に関して 1 または 2 と合同ならば、それは二つの平方数の和にならなければいけないというブルック＝ライザー＝チョウラの定理である。
これにより N = 6 が除外できる。次の場合は N = 10 が、大規模計算機の計算により除外された。それ以上の場合については知られていない（特に N = 12 も未解決である）。
射影平面の分類は全然終わっていない。いくつかの結果を位数の順に以下に示す。
・10 : この位数の射影平面は存在しない（計算機による膨大な計算の結果として証明された）。
・11 : すくなくとも PG(2,11) が挙げられる。他は知られていないが可能性はある。
・12 : この位数の射影平面は存在しないと予想されているが証明はされていない。”
ガロア逆問題に似ているね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%B3%E9%9D%A2
射影平面

線型代数学的な定義

例
・K として実数体 R を取れば、実射影平面 RP2 が生じる。これは位相幾何学において、向きを持たない実二次元の多様体の基本的な例を与えるものである[4]。
・K として複素数体 C を取れば、複素射影平面 CP2 が生じる。これは複素二次元の閉多様体であり、従って向きを持つ実四次元の多様体である。他の体上の射影平面ともども代数幾何学の基本的な例を与える[5]。
・四元射影平面もまた別な意義を持つ対象である。ケーリー平面は八元数環上の射影平面と考えられるが、八元数環が斜体を成さないため、きちんとした構成を十分に記述することはできない[3]。
・K として位数 p n の有限体を取れば、p^2n + p^n + 1 個の点を持つ射影平面が得られる。後述するファノ平面は p n = 2 とした場合にあたる。

組合せ論的な定義
より一般な組合せ論的定義によれば、射影平面は直線の集合と点の集合から成り、点と直線との間の結合あるいは接続 (incidence) と呼ばれる以下のような性質を持つ関係を備えるものである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/711

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