現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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236: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/26(土) 11:34:11.00 ID:fHUQGPHQ

>>235
つづき

数学上の予想ないし研究課題としての 「クロネッカ $-$ の
青春の夢」 は, 彼がデデキントに宛てた 1880 年の手紙 ( $[\mathrm{K}\mathrm{r}- 1880\mathrm{b}]\rangle$ のなかで, 彼が
「私のいちばんのお気に入りの青春の夢」 $\langle$
... um meinen liebsten Jugendtraum, $\ldots\rangle$ と呼
んだ, おおむね次のような数学の問題 (予想) を指す :
クロネッカーの青春の夢 : 虚 2 次体上のアーベル多項式の根は, その 2 次体を虚数乗
法に持つ楕円関数の「特異モデュライ」 と周期の等分点での値ですべて与えられる.

虚数乗法についてはワイエルシュトラスの $\wp$ 関数に基づく説明を次の節で簡単に与え
る. ここではアーベルやクロネッカー [Kr-1857a1 が扱った楕円関数とそのモデュライに
触れておく.

アーベルは, まず楕円積分が特に対数関数で積分されてしまう場合を連分数に基づく
手法で決定した $\langle_{[6}\mathrm{A}\mathrm{b}- 182\mathrm{b}$]) が, 次の瞬間には, 素直に楕円積分の逆関数に注目し,
またコーシーが展開していた複素線積分を取り入れ, たちまち 「楕円関数論」 を構築してしまう.

§3 デデキント $(1831-1916\rangle$

デデキントは, ガウスに倣ったわけでもないのだろうが, 理論的な枠組みが明快にな
るまでは不用意な公表をひかえていたように見受けられる. この点は 「預言者」 と呼ば
れたクロネッカーと著しく異なっている. したがって彼が実際に何を見, 何を意図して
いたのかを, 整った論文のなかに見いだすことは容易ではない. 第 1 項については, 特
に『ディリシュレの数論講義への補足\sim の最終版 [De-18931 の完成度が高い ; しかも
[De-1871], [De-1877a1, [De-1879], $[\mathrm{D}\mathrm{e}- 18\mathfrak{B}]$ と順を追って成熟していく様子が見られ
る. このようなことから, [De-18931 こそが彼の最終目的であったと見倣されるかもし
れない.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/236

466: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/04(月) 18:03:34.00 ID:Qu1TcOyQ

>>462 追加

”PARAMETRIC GALOIS EXTENSIONS”
https://arxiv.org/pdf/1310.6682.pdf
PARAMETRIC GALOIS EXTENSIONS
FRANC， OIS LEGRAND
Abstract. Given a field k and a finite group H, an H-parametric
extension over k is a finite Galois extension of k(T ) of Galois group
containing H which is regular over k and has all the Galois extensions of k of group H among its specializations. We are mainly interested in producing non H-parametric extensions, which relates
to classical questions in inverse Galois theory like the BeckmannBlack problem and the existence of one parameter generic polynomials. We develop a general approach started in a preceding paper
and provide new non parametricity criteria and new examples.

1. Presentation
The Inverse Galois Problem asks whether, for a given finite group H,
there exists at least one Galois extension of Q of group H. A classical
way to obtain such an extension consists in producing a Galois extension E/Q(T) with the same group which is regular over Q 1
: from the Hilbert irreducibility theorem, E/Q(T) has at least one specialization
of group H (in fact infinitely many if H is not trivial).
In this paper we are interested in “parametric Galois extensions”,
i.e. in finite Galois extensions E/Q(T) which are regular over Q - from
now on, say for short that E/Q(T) is a “Q-regular Galois extension”
- and which have all the Galois extensions of Q of group H among
their specializations. More precisely, given a field k and a finite group
H, we say that a k-regular finite Galois extension E/k(T) of group G
containing H (with possibly H 6= G) is H-parametric over k if any
Galois extension of k of group H ocurs as a specialization of E/k(T)
(definition 2.2). The special case H = G is of particular interest.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/466

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