[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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555(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/01(日)07:53 ID:id6ENHqe(2/6) AAS
>>554
つづき
特に、どちらの理論にもいわゆる非標準モデルの過剰が存在する。見かけ上のパラドックスとして、遺伝的有限集合の非標準モデルは無限集合を含んでいるが、それら無限集合はそのモデル内では有限に見える（これは、それら集合の無限性を証明するのに必要な集合や関数をモデルが持たない場合に生じる）。
不完全性定理があるため、一階述語論理やその再帰的適用では、そのようなモデルすべての標準部分を特徴付けることができない。
従って、一階述語論理の観点からは、有限性をおおよそ特徴付けることしか望めない。
(引用終り)
以上
556(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/01(日)08:00 ID:id6ENHqe(3/6) AAS
>>554-555
(抜粋)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
有限集合
有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
省11
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