[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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251(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)06:49 ID:aKfhohl9(1/4) AAS
>>242
メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
省14
252(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)06:50 ID:aKfhohl9(2/4) AAS
>>251
つづき
理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。
この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもの[1]で、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。
なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないからである。
さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。
省12
253(1): 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/11(金)06:53 ID:6s83KSTC(2/9) AAS
>>250-252
それ、安達のスレで書けよ
奴は、可算無限はともかく、非可算無限を認めたくないみたいだから
261(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/11(金)10:29 ID:RRsRScoq(1/4) AAS
>>251
メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ
追加
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
デデキント無限
(抜粋)
ZFにおけるデデキント無限
省15
276(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:18 ID:0oc9Ztsl(7/28) AAS
>>275
どうも。レスありがとう
>{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
>には最大値が存在してしまうのでは？
別に言い訳するつもりはないけど
>>272で同意したのは、
ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです
省31
297: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:26 ID:0oc9Ztsl(19/28) AAS
>>294
再度まとめておきます
現代数学の無限の議論で、
１．整列可能定理と関連して、デデキント無限とかの関連で（>>236-238）どこまでの強さの選択公理を採用するか（>>283）の問題がある
可算選択公理＜従属選択公理＜選択公理＜連続体仮説
ですね。決定性公理は、別の系統なのでしょうね
２．レーヴェンハイム-スコーレムの定理に関連して（>>251-252）
省12
554(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/01(日)07:53 ID:id6ENHqe(1/6) AAS
>>503 補足
>一階述語論理か
>それ以上の高階述語論理なのかに無自覚ならば
>所詮、有限と無限とをきちんと区別できない
>それを知らずに議論するあわれな落ちこぼれたち
>あわれな”なんとかさん”と同類じゃね！？ｗ（＾＾；
（まとめ引用）ｗ（＾＾
省18
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