[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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236(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)18:39 ID:K6AlmfoH(3/5) AAS
>>233 補足
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
デデキント無限
(抜粋)
数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。
デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。
省15
237(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)18:40 ID:K6AlmfoH(4/5) AAS
>>236
つづき
一般化
圏論的な言葉で表現すれば、集合 A は集合の圏においてすべてのモノ射 f: A → A が同型射であるときにデデキント有限である。フォン・ノイマン正則環 R が（左あるいは右）R-加群の圏において同様の性質を持つことと、R において xy = 1 ならば yx = 1 が成り立つことは同値である。
より一般に、デデキント有限環 (Dedekind-finite ring) は、この条件（xy = 1 ならば yx = 1）を満たす環のことである。台集合がデデキント無限であっても環はデデキント有限となりうることに注意。例えば整数環。正則加群 RR がホップ的（すなわち任意の全射自己準同型が同型）であることと R がデデキント有限であることは同値である。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:ring-theory-japan.com
VON NEUMANN REGULAR RINGS WITH COMPARABILITY MAMORU KUTAMI Yamaguchi University 久田見 守（山口大学）第３９回環論および表現論シンポジウム（２００６年）
省13
242(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/10(木)20:36 ID:JCH5uyU5(5/7) AAS
>>236-237
そもそも、>>235って、論点ずれていると思うよ
>>236-237に引用したように
１）そもそも、無限にもいろいろありましてｗ
無限を扱う公理の強さによって、多種の無限が生じ、区別ができないこともある
２）その中で、ZFCのフルパワー選択公理を採用すれば
デデキント無限などで、可算無限は、一意に決まるのです（整列可能定理でもありますし）
省15
297: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:26 ID:0oc9Ztsl(19/28) AAS
>>294
再度まとめておきます
現代数学の無限の議論で、
１．整列可能定理と関連して、デデキント無限とかの関連で（>>236-238）どこまでの強さの選択公理を採用するか（>>283）の問題がある
可算選択公理＜従属選択公理＜選択公理＜連続体仮説
ですね。決定性公理は、別の系統なのでしょうね
２．レーヴェンハイム-スコーレムの定理に関連して（>>251-252）
省12
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