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現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/
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83: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 18:24:09.06 ID:JrhjRl4x >>14 (引用開始) 冪集合で P({a})={Φ,{a}} つまり、 P({a})は{a}という一元集合の冪集合です ここで、{Φ,{a}}から、{{a}}という集合を作ることができるということを認めることにしましょう （注：{Φ,{a}}から、元Φを取り除くだけですけど（多分、分出公理を使う） あるいは、 P({Φ,{a}})={Φ,{Φ},{{a}},{Φ,{a}}}としても、{{a}}は作ることができる ） (引用終り) 上記より、空集合の冪集合を繰返して順に集合を作り、{}の多重になった集合を作る 1回P(Φ)={Φ}→{Φ}（1重） 2回P({Φ})={Φ,{Φ}}→{{Φ}}（2重） 3回P({{Φ}})={Φ,{{Φ}}}→{{{Φ}}}（3重） ・ ・ n回P({・・{Φ}・・})={Φ,{・・{Φ}・・}}→{{・・{Φ}・・}}（n重集合） （ここに、{・・{Φ}・・}は、{}のn-1重集合） フォン・ノイマン宇宙の「0に冪集合の演算を超限回繰り返して得られる集合」を認める 空集合Φに、ω回冪集合の演算を繰り返した集合として、ω重集合 ω回P({・・・{Φ}・・・})={Φ,{・・・{Φ}・・・}}→{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合） ”{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）”を定義します この集合の性質は、超限順序数ωの性質を引き継ぐものとします つまり Φ＝0∈1∈2∈3・・・∈n・・・∈ω＝N で、この∈関係は、ノイマン構成と違って、集合演算としては推移的ではない 但し、単なる順序としての∈関係では、推移的です（順序の逆転はない） これが、”{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）”の定義です（＾＾ この話は、>>70の下記と符合していますね つまり、「順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できる」ということです つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/83
84: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 18:24:33.56 ID:JrhjRl4x >>83 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 順序数 (抜粋) 注釈 2．^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。 その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。 ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。 これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。 だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。 ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。 詳細は「順序型」を参照。 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/84
86: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/05(土) 18:35:04.19 ID:o3KPqddg >>83 まだダメ。 wikiの下の方にちゃんと ‘冪集合をとる操作を超限的に繰り返したもの’ を数学的にどう定義するか述べられてるでしょ？ それと同じ事をやらなけりゃダメ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/86
89: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/05(土) 19:20:17.29 ID:kZwmbLNI >>83 ＞フォン・ノイマン宇宙の ＞「0に冪集合の演算を超限回繰り返して得られる集合」 ＞を認める ＞空集合Φに、ω回冪集合の演算を繰り返した集合として、ω重集合 ＞ω回P({・・・{Φ}・・・})={Φ,{・・・{Φ}・・・}}→{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合） ＞”{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）”を定義します 「ω回」が誤りですね >>36で書きましたよ 必ず読みましょう フォン・ノイマン宇宙 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99 「・V0は空集合, {}とする。 ・各順序数 βに対して、Vβ+1はVβの冪集合とする。 ・各極限順序数 λに対して、Vλは、次の和集合とする: Vλ＝∪(β＜λ)Vβ」 ωは極限順序数ですから Vω＝∪(n＜ω)Vn です 勝手に「ω回」とか嘘八百をでっちあげるのは 迷惑だから絶対にやめてください http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/89
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