現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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961: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/21(土) 00:23:37.19 ID:AVt64yFu

>>945 補足
（>>783）
<ノイマン構成>
0,1,2,・・,n-1,n,・・,ω,ω+1,ω+2,・・
後者関数を、suc (a):=a∪{a}とする
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
例えば、ω+1:=ω∪{ω}

<Zermelo構成>では、後者関数を、suc (a):={a}とする
ω+1:={ω}

で、確かに<ノイマン構成>綺麗ですよね。ω＝Nとなって、順序と濃度が対応している
それは、<Zermelo構成>では、実現できていない。
けれども、<Zermelo構成>によるωの構成はだれも否定していない
<ノイマン構成>からぱくって、ω＝Nも出来なくは無い
ω＝N、ω+1:={N}、ω+2:={{N}}、・・ としてもいい
だが、ωの後者以降は、シングルトン。ωより以前も、シングルトン。
だったら、<Zermelo構成>でのωも、シングルトンと考えるのが、自然であり理論的にも綺麗
<Zermelo構成>でのωが、シングルトンであることを否定する理屈なし
（おサルの「正則性公理に反する」とか、アホ発言はあったけどね（＾＾； ）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
<ノイマン構成>
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
　suc (a):=a∪{a}
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。

<Zermelo構成>（>>725より）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/961

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