[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/

上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割 ﾚｽ栞
抽出解除 ﾚｽ栞

---

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

---

722: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 07:47:25.56 ID:s6Tab8iq >>713 文字化けを直して、再引用しよう http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/logic/foundation.html Foundation and epsilon-induction (抜粋) 1. Introduction Either by examining the sets created in the first few levels of the cumulative hierarchy or from other means, via considering the idea of constructions of sets perhaps, we conclude that we do not expect sets to have infinite descending sequences x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋… at least for sets in the cumulative hierarchy of constructed sets. The axioms of Zermelo-Fraenkel set theory are intended to represent axioms true in this hierarchy, so we expect to have an axiom stating there can be no such descending sequence. Unfortunately, the statement that there is no such descending sequence is not first order, but second order. This is analogous to the fact that there are nonstandard structures satisfying all first order sentences of arithmetic true in N. However, the example of arithmetic provides at least one clue as to a powerful axiom scheme true in all structures without infinite descending chains: induction. Applied to set theory we have the axiom scheme of ∈-induction. Axiom Scheme of ∈-Induction: For all first order formulas Φ(x,a￣) of the language L∈, ∀a￣(∀x(∀y∈xΦ(y)→Φ(x))→∀xΦ(x,a￣)). We are not going to adopt this as an axiom scheme for Zermelo Fraekel because it will follow from other axioms, and it will be instructive to see how that happens. We will, however, adopt the following special case of ∈-Induction. Axiom of Foundation: ∀x(∃y y∈x→∃y(y∈x∧¬∃z(z∈x∧z∈y))). http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/722

723: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 07:55:52.35 ID:s6Tab8iq >>722 ＜Google翻訳＞（少し手直し） 基礎とイプシロン帰納 （抜粋） 1.はじめに 累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋… 少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。 Zermelo-Fraenkel集合理論の公理は、このhierarchyで真である公理を表すことを目的としているため、このような下降シーケンスは存在できないという公理を持つことが期待されます。 残念ながら、このような降順がないというステートメントは、1次ではなく2次です。 これは、Nで真の算術のすべての1次文を満たす非標準構造があるという事実に類似しています。 ただし、算術の例では、無限の降順チェーンのないすべての構造に当てはまる強力な公理スキームに関する少なくとも1つの手がかりが得られます。 集合論に適用すると、ε-帰納の公理スキームがあります。 ε-帰納の公理スキーム： 言語L∈のすべての一次式Φ（x、a￣）について、∀a￣（∀x（∀y∈xΦ（y）→Φ（x））→∀xΦ（x、a￣））。 Zermelo Fraekelの公理スキームとしてこれを採用するつもりはありません。これは他の公理から得られるものであり、それがどのように起こるかを知ることは有益だからです。ただし、次の特別なケースのε-Inductionを採用します。 基礎公理：∀x（∃yy∈x→∃y（y∈x∧¬∃z（z∈x∧z∈y）））。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/723

---

ﾒﾓ帳

(0/65535文字)

---

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

---

ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

---

Google検索

Wikipedia

---

ぬこの手 ぬこTOP 0.038s