[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/

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61: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 15:58:31.07 ID:JrhjRl4x >>54 追加 さて ・正則性公理では、「無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない」と規定するが ・順序数では、「順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する」 　一方 　「0, 1, 2, 3, ............, ω」 　「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」 （ここでノイマン構成では 　0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている） 　となる ・二つを比較すると、 　正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない 　順序数の無限下降列には、最小元が存在する 　という違いがある 　これ、大きなポイントでしょうね（＾＾ ・あとは、これをどう解釈するのかだけです 　１）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、もともと、正則性公理には反していない 　２）無限列が、極限順序数ωなどを跨ぐ場合は、除外（ωは集積点ですから、跨げば必ず無限列を成す） 　３）クラスの違いで考える。有限順序数の集合の属するクラスと、ωの集合の属するクラスとでは 　　クラスが別で、クラスを跨ぐ数列には、正則性公理は適用できないと考える（∵ 元々ZFCは、クラスを扱えない） この１）〜３）のどれか（あるいは全て） こんなところじゃないでしょうか （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理 (抜粋) 以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。 ・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0 ・∀xについて、∈がx上well-founded ・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/61

62: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 15:58:51.75 ID:JrhjRl4x >>61 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 順序数 (抜粋) 順序数の大小関係に関して次が成り立つ： 5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。 順序数の並び方を次のように図示することができる： 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。 そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/62

65: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/05(土) 16:02:16.62 ID:kZwmbLNI >>61 ＞一方 ＞「0, 1, 2, 3, ............, ω」 ＞「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」 ＞（ここでノイマン構成では ＞0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている） ＞となる これ、嘘ですね 何度も書いてますが 0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω では、「∈ω」の左側の要素が…のままで明記されません したがって∈列ではありません 順序数の順序の列と∈列は異なります この事実をまず理解しましょう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/65

66: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/05(土) 16:06:39.30 ID:kZwmbLNI >>61 ＞　正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない ＞　順序数の無限下降列には、最小元が存在する あなたのいう「順序数の無限下降列」が 0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω のことなら、そもそも無限下降列ではないので嘘です 通常であれば「誤り」というところですが、 あなたが私の文章を一切読まず（読んでも理解せず）に 執拗に書き込みつづけるのであえて「嘘」といわせていただきました はっきりいって非常に悪質と言わざるを得ません　迷惑です ＞これ、大きなポイントでしょうね 実に初歩的でつまらない誤りですよ だからこのような誤りに固執して書き込みするのは迷惑です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/66

69: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/05(土) 16:14:37.61 ID:kZwmbLNI >>61 ＞１）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、 ＞　　もともと、正則性公理には反していない そもそもあなたのいう 0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω は「∈ω」の左側の元を記載した瞬間、 有限列になるので、無限下降列にはなりません。 最小元の存在とかいう以前の問題 ＞２）無限列が、極限順序数ωなどを跨ぐ場合は、除外 ＞　（ωは集積点ですから、跨げば必ず無限列を成す） いかなる超限順序数であろうと、降下列は有限です 極限順序数の場合は、すぐ下の順序数がないので飛びます つまりωの下は、自然数ｎになります ＞３）クラスの違いで考える。 ＞　　有限順序数の集合の属するクラスと、 ＞　　ωの集合の属するクラスとではクラスが別で、 ＞　　クラスを跨ぐ数列には、正則性公理は適用できないと考える 順序数が理解できてませんね 順序数の全体はクラスですが、 有限順序数の全体はωという集合です また、例えばたかだか可算無限順序数の全体の集合はアレフ１です そして、前にも述べたように、いかなる無限順序数でも降下列の長さは有限です 超限帰納法が意味を持つのは、降下列の長さが有限だからです http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/69

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