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現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/
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6: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/10/05(土) 10:16:54.46 ID:JrhjRl4x >>4 つづき １）の論点の 「正則性公理(>>16)は、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ を禁止する が、無限上昇列を禁止するものではない」 について ノイマン構成の∈の2項関係の列 0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω これは、正則性公理には反しない これは、当たり前。無限上昇列を禁止したら、現代数学の公理系としては機能しない そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿る、無限下降列でしょ それとの折り合いをどうつけるか？ ID:kZwmbLNIさんは 現代数学はインチキのデパート https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570145810/23-24 (抜粋) ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら 0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω は”明らかに”有限長です。 (引用終り) と解釈することで折り合いを付けた ここは、ちょっと異論があるのですが、後で（＾＾ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/6
7: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 10:22:15.99 ID:JrhjRl4x >>6 つづき まず、タイポ訂正 そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿る、無限下降列でしょ ↓ そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿ると、無限下降列でしょ 分かると思うが（＾＾ さて、>>4より (引用開始) 議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果 テキストや、ウェブサイトにある、現代数学の成果は認めるものとしましょう （そうしないと、全てを公理からの構成や厳密な証明を求めるようなことをすると、余白が足りない（時間も足りない）） (引用終り) これを合意したものとして 下記、正則性公理より、 「フォン・ノイマン宇宙、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」 という存在を認めることにしましょうね（＾＾ (参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理 (抜粋) V=WF ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。 (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/7
10: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/05(土) 10:54:36.83 ID:kZwmbLNI >>6 ＞ノイマン構成の∈の2項関係の列 ＞0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω ＞これは、正則性公理には反しない >>9でも述べたとおり、「∈N」の左側に要素ｍを記入した列 0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω （ｍは自然数） は、正則性公理に反しません。 ＞これは、当たり前。 ええ、有限列ですから。 ＞無限上昇列を禁止したら、現代数学の公理系としては機能しない ＞そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿る、無限下降列でしょ 無限上昇列のどの項も有限番目ですから そこから下降した場合、有限回で起点に戻ります また、ωは無限上昇列には現れません ωは別に追加されます そしてωからの下降については、有限回で{}に至ります ＞ID:kZwmbLNIさんは ＞「ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら ＞ 0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω ＞ は”明らかに”有限長です。」 ＞と解釈することで折り合いを付けた 解釈ではありませんね。 列ですから、∈の左右を明記することは当然であって 何の解釈の余地もありません。 したがって折り合いというのも言葉遣いとして間違っています。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/10
31: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 12:08:56.14 ID:JrhjRl4x >>19 (引用開始) ノイマン宇宙のV_ωには {}、{{}}、{{{}}}、… という{}の有限重の集合は全て存在する しかし、{}の無限重の集合は存在しない (引用終り) おやおや 公理的集合論では、どんな奇妙な集合でも、禁止されていない集合は存在しうる だから、出現して困る集合は、公理で禁止する必要がある そのための、正則性公理 そうして、正則性公理は、無限上昇列を禁止するものではない 例 ノイマンの自然数構成N＝ω （>>6） 0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω では、ツェルメロの自然数構成で 0：Φ 1：{Φ} 2：{{Φ}} ・ ・ n：{・・{Φ}・・} n重 これで、全ての有限の自然数は構成できる 無限公理で、Nとωが出来たあとに、 ω：{・・{Φ}・・} ω重 と定義すれば良い まあ、これが、ツェルメロの自然数構成の弱点であり、批判されるところでもあります（＾＾ 自然に、N＝ωが出るノイマン構成の方がはるかに綺麗です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/31
42: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 14:02:44.04 ID:JrhjRl4x >>6 (引用開始) ID:kZwmbLNIさん 現代数学はインチキのデパート https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570145810/23- (抜粋) ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら 0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω は”明らかに”有限長です。 (引用終り) と解釈することで折り合いを付けた ここは、ちょっと異論があるのですが、後で（＾＾ (引用終り) ここに戻ります 最小の超限順序数 ωは、極限点です。集積点とも言います T1-空間（＝”任意の相異なる二点が分離できる”。実数Rはそうです）では 集積点ωは、”任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である” つまり、閉区間[0,1]内の数列 0=1-1/1,1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・ を考えます。n→∞で、1-1/n→1に収束します。そして、[0,1]の点1は、集積点です もうお分かりでしょう。1-1/nが順序数nに対応し、点1は∞つまり順序数nに対応します 点1は集積点で、”任意の近傍が S の点を無限に含む”ですから、閉区間[0,1]の内側に少しでも入れば 無限の1-1/nたちを含みます。無数の順序数nたちを含みます なので、あなたの上記証明は、「ωは、極限点」という性質を反映していませんね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω (抜粋) 特徴付け 極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: ・順序数全体の成す類（クラス）において順序位相に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9 集積点/極限点 (抜粋) 集積点あるいは極限点は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念 定義 位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93 T1空間 (抜粋) X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/42
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