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現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/
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54: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 15:35:29.82 ID:JrhjRl4x >>50 >>53 補足します https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 順序数 (抜粋) 順序数の並び方を次のように図示することができる： 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。 そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。 その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。 だがそれで終わりではない。 無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。 (引用終り) このような、順序数の無限の列が、ZFCで構成できる 多分、ノイマン宇宙とかですかね。あるいは、到達不能な巨大基数か（＾＾ で、例えば、最小の超限順序数 ωなどから、 下の有限順序数ｎの世界へ行くのに 無限上昇列を逆に辿れば、無限に降下する列になる でも、これを正則性公理で禁止するということはおかしいですよ つまり、正則性公理のいう無限降下列禁止と、 超限順序数 ωなどから無限上昇列を逆に辿る話とは別ものと考えざるをえないということ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/54
60: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/05(土) 15:53:27.66 ID:kZwmbLNI >>54 ＞最小の超限順序数 ωから、下の有限順序数ｎの世界へ行くのに ＞無限上昇列を逆に辿れば、無限に降下する列になる いつまで、その嘘を書き続けるおつもりですか？ まず 0,1,2,… という無限列にはωは現れません 現れないものを起点とする列は作れませんね 次に 0,1,2,… という無限列の右側に無理矢理ωを追加した列を ひっくりかえしたとしましょう そのとき、ωのすぐ右側には何が来ますか？ 答えられないでしょう 当然です そんなものは存在しないからです 無限公理のωからの下降列を構成する場合 ωの次に来るのは別にω未満の最大の元ではありません ω未満のｎであればなんでもいいんです そしてそのようなｎはみな自然数ですから 結局下降列は有限列になります ＞これを正則性公理で禁止するということはおかしいですよ 存在しない無限下降列は禁止できないですよ もし、存在すると言い切るのなら、 ωのすぐ右側の元を書いてみてください その瞬間、あなたも自分が間違っていたと気づく筈 もし気づかないなら、知的誠実さが欠如しています http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/60
61: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 15:58:31.07 ID:JrhjRl4x >>54 追加 さて ・正則性公理では、「無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない」と規定するが ・順序数では、「順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する」 一方 「0, 1, 2, 3, ............, ω」 「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」 （ここでノイマン構成では 0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている） となる ・二つを比較すると、 正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない 順序数の無限下降列には、最小元が存在する という違いがある これ、大きなポイントでしょうね（＾＾ ・あとは、これをどう解釈するのかだけです １）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、もともと、正則性公理には反していない ２）無限列が、極限順序数ωなどを跨ぐ場合は、除外（ωは集積点ですから、跨げば必ず無限列を成す） ３）クラスの違いで考える。有限順序数の集合の属するクラスと、ωの集合の属するクラスとでは クラスが別で、クラスを跨ぐ数列には、正則性公理は適用できないと考える（∵ 元々ZFCは、クラスを扱えない） この１）〜３）のどれか（あるいは全て） こんなところじゃないでしょうか （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理 (抜粋) 以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。 ・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0 ・∀xについて、∈がx上well-founded ・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/61
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