現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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519: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/28(木) 21:01:57.22 ID:QdpmOFrx

>>501-502 補足
(引用開始)
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)

さて
・上記のように、シングルトンは、有限には限らない
　（これは自明だが以下説明する）
・数学では、可算無限を考えることは、頻繁にある
・例えば、下記の時枝記事は”可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる”という記載から始まる
・あるいは、下記の形式的冪級数の各項の係数が、”箱が可算無限個ある”ことに相当するだろう
・また、下記のヒルベルトの無限ホテルのパラドックスでは、”客室が無限にあるホテルを考える”となる
・さて、可算無限個ある箱に、縦棒”|”を入れるとする。”|||・・・”となる
　これを、利用して、・・・|||Φ|||・・・、
　つまりΦを真ん中にして、左右に”|||・・・”を配置する
・ここで、縦棒”|”を左カッコ{ や、右カッコ ｝に取り替える。即ち
　左の・・・|||→・・・{{{ に
　右の|||・・・→{{{・・・ に 取り替えると
　・・・{{{Φ}}}・・・となる
　ここで、Φを取り除けば、・・・{{{ }}}・・・
　ここでΦ＝{ }を替えれば、・・・{{{{ }}}}・・・となる
・ヒルベルトの無限ホテルや形式的冪級数の存在が、否定できない（当然できないよね）
　とすれば、”|||・・・”の存在も否定できない
・従って、・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の存在も否定できない
QED

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/519

549: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 21:49:30.28 ID:4Ujjq2jv

>>536
>・Kuratowski, Kazimierz (1920), "Sur la notion d'ensemble fini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 129?131

1920は、2019から見れば、ほぼ100年前

>>544 補足
＞W.Sierpinski氏は彼の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」1）有限集合の新しい定義を与えました。

Kuratowskiは、Sierpinski氏の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」の有限集合の新しい定義を改良したわけです
1920年当時、（20世紀初頭までの）数学を公理的に扱えるようにするというのが、最先端の研究だった時代
「Zermeloの公理」が出ていたんだ
で、みなさんご存知のように、Zermeloはまずは、自然数N （可算無限）を、彼の公理から、構成した
（>>519ご参照）

で、当時既に知られていたようだが、自然数の構成は１通りではない
2019年では、ノイマンの構成が一番有名だが、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 などをご参照

で、有限と無限の定義が、このような自然数の構成に依存するのは、まずいと思ったのだろう
まずは、Sierpinski氏が考えて、それをKuratowskiを改良した

だから、SierpinskiやKuratowskiは、無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)みないなのは、想定外
（まずは、素朴に無限と有限を分けましょうということだったろう）
また、1920年当時、無限集合のシングルトンを言い出したら、そもそも「有限とは？」「無限とは？」の議論が収束していないとき、混乱に輪を掛ける
（まあ、2019年の現代でも、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}の存在を否定する数学おサルがいるくらいですし。まあ、もう1月で2020年になりますけどね（＾＾；）

また、2019年の現代でも、無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)などを数学で使う需要は少ない
もちろん、シングルトンなのだから、定義から、その集合の要素はただ1つ

但し、無限集合のシングルトンは、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)達は、その要素が、非可算無限集合であったり、あるいは可算無限集合

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/549

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