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現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/
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42: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 14:02:44.04 ID:JrhjRl4x >>6 (引用開始) ID:kZwmbLNIさん 現代数学はインチキのデパート https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570145810/23- (抜粋) ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら 0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω は”明らかに”有限長です。 (引用終り) と解釈することで折り合いを付けた ここは、ちょっと異論があるのですが、後で（＾＾ (引用終り) ここに戻ります 最小の超限順序数 ωは、極限点です。集積点とも言います T1-空間（＝”任意の相異なる二点が分離できる”。実数Rはそうです）では 集積点ωは、”任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である” つまり、閉区間[0,1]内の数列 0=1-1/1,1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・ を考えます。n→∞で、1-1/n→1に収束します。そして、[0,1]の点1は、集積点です もうお分かりでしょう。1-1/nが順序数nに対応し、点1は∞つまり順序数nに対応します 点1は集積点で、”任意の近傍が S の点を無限に含む”ですから、閉区間[0,1]の内側に少しでも入れば 無限の1-1/nたちを含みます。無数の順序数nたちを含みます なので、あなたの上記証明は、「ωは、極限点」という性質を反映していませんね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω (抜粋) 特徴付け 極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: ・順序数全体の成す類（クラス）において順序位相に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9 集積点/極限点 (抜粋) 集積点あるいは極限点は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念 定義 位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93 T1空間 (抜粋) X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/42
51: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 15:11:17.39 ID:JrhjRl4x >>49 >◆e.a0E5TtKEさん、あなたの躓いた石を見つけましたよ >N={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}に一番右の要素は存在しません いえいえ 極限ですよ 有限の n：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・}→{・・{Φ}・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重） ここで、n→∞とする n→∞の極限を正統化するのが、無限公理でしょ（＾＾ n→∞の極限が分からないと、>>42の極限順序数 ωが集積点であるということが理解できない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/51
52: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 15:17:14.26 ID:JrhjRl4x >>42 補足します 閉区間[0,1]内の数列 0=1-1/1,1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・ を考えます。n→∞で、1-1/n→1に収束します。そして、[0,1]の点1は、集積点です １）nが任意の自然数では、数列は、半開区間[0,1 ）内です ２）nが自然数Nの全ての要素を渡りきって、ωに到達したときに、1-1/n→1に到達します ３）任意の1-1/nから点1の間に、無数の数列を構成する点があるということ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/52
417: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/14(月) 10:28:37.32 ID:w6tqRMw5 >>415 補足 この話は、すでに>>42,>>52にモデルを書いておいたが 1)閉区間[0,1]内の数列 0(=1-1/1),1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・,(n→∞)1(=1-1/∞)=ω ができる 2)同様に 閉区間[1,2]内の数列 1(=2-1/1),2-1/2,2-1/3,・・,2-1/n,・・,(n→∞)2=(2-1/∞)=ω ができる 3)上記1)2)を直結すると 閉区間[0,2]内の数列 0(=1-1/1),1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・,(n→∞)1(=1-1/∞)=ω=(=2-1/1),2-1/2,2-1/3,・・,2-1/n,・・,(n→∞)2=(2-1/∞)=ω + ω ができる 4)要するに、例えば 奇数列 1,3,5,・・・ 偶数列 2,4,6,・・・ この2つを直結すると 1,3,5,・・・、2,4,6,・・・になる これが、3)の閉区間[0,2]内の数列と全単射になり、ω + ωの数列になる 5)で、「1,3,5,・・・、2」から、2→1の”無限降下列”がとれるが、最小元を持つので、正則性公理（＝最小元を持たない）には反しない QED http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/417
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