[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/

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31: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 12:08:56.14 ID:JrhjRl4x >>19 (引用開始) ノイマン宇宙のV_ωには {}、{{}}、{{{}}}、… という{}の有限重の集合は全て存在する しかし、{}の無限重の集合は存在しない (引用終り) おやおや 公理的集合論では、どんな奇妙な集合でも、禁止されていない集合は存在しうる だから、出現して困る集合は、公理で禁止する必要がある そのための、正則性公理 そうして、正則性公理は、無限上昇列を禁止するものではない 例 ノイマンの自然数構成N＝ω （>>6） 　0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω では、ツェルメロの自然数構成で 0：Φ 1：{Φ} 2：{{Φ}} 　・ 　・ n：{・・{Φ}・・} n重 これで、全ての有限の自然数は構成できる 無限公理で、Nとωが出来たあとに、 ω：{・・{Φ}・・} ω重 と定義すれば良い まあ、これが、ツェルメロの自然数構成の弱点であり、批判されるところでもあります（＾＾ 自然に、N＝ωが出るノイマン構成の方がはるかに綺麗です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/31

36: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/05(土) 12:34:28.42 ID:kZwmbLNI >>31 ＞公理的集合論では、どんな奇妙な集合でも、禁止されていない集合は存在しうる 「Vωでは」と書いているので、 フォンノイマン宇宙の定義を読んで確認しましょう　 確認なしの「感想」は無意味ですから フォン・ノイマン宇宙 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99 「・V0は空集合, {}とする。 　・各順序数 βに対して、Vβ+1はVβの冪集合とする。 　・各極限順序数 λに対して、Vλは、次の和集合とする: 　　Vλ＝∪(β＜λ)Vβ」 ωは極限順序数ですから、VωはVn(nは自然数)の合併です {}はV1,{{}}はV2,{{{}}}はV3,…で現れます VωはVnの合併ですから、あらゆる{}の有限重は現れますが 無限重は現れません >無限公理で、Nとωが出来たあとに、 >ω：{・・{Φ}・・} ω重 >と定義すれば良い １行目のωと2行目の「ω：」のωは違いますよね だから2行目のωを別の表記に変えましょう といってるんですよ　理解しましたか？ あなたが拒否したので、我々のほうで Ω：{・・{Φ}・・} ω重 と決めさせていただきました ただ、そうしたところで、実はまだΩは定義されていません http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/36

38: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/05(土) 12:37:33.47 ID:kZwmbLNI >>31 ＞ノイマンの自然数構成N＝ω ＞0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω 相変わらず「 ∈N」の左側を・・・と書いていますが そういうことをしている限り、あなたは間違いに気づけませんよ ｍ∈N　で、ｍは自然数です したがって 0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ｍ∈N＝ω は有限列です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/38

48: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 14:48:04.21 ID:JrhjRl4x >>31 さて、 「自然数 ノイマン構成の集合Nから、{・・・{Φ}・・・}（{}はω重）なる集合が取り出せる」話（＾＾ ・自然数 ノイマン構成 0：Φ 1：{Φ｝ 2：{Φ,{Φ}}→{{Φ}}（一番右以外のΦを除く。{}は2重） 3：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}→{{{Φ}}}（一番右以外のΦを除くことを繰返す） 　・ 　・ n：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・}→{・・{Φ}・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重） 　・ 　・ ω：N＝{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}→{・・・{Φ}・・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重） 自然数 ノイマン構成の集合Nから、{・・・{Φ}・・・}（{}はω重）なる集合が取り出せる これが、ツェルメロ構成のω {・・・{Φ}・・・}（{}はω重）に相当しますね つまり、ノイマン構成とツェルメロ構成とは、一対一に対応していますよ。当たり前ですが（＾＾ なので、ノイマン構成でωが可能なら、ツェルメロ構成でそれに相当する集合ωが存在し得るのです ここで、 ”（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）”とか ”（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重）”とかは 分出公理（下記）を（繰り返し）使うと思います （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 ペアノの公理 (抜粋) この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1]。 http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/02/102042 Rei Frontier Tech Blog 2017-11-02 ZFC公理系について：その1 (抜粋) 分出公理と共通部分 次の公理を導入しましょう。 (Set6') 分出公理 ∀a∃b∀x(x∈b⇔x∈a∧P(x)). "普通の言葉"で述べると、 「任意の集合aに対して、P(x)が成り立つようなaの元xの全体からなるaの部分集合bが存在する」といえます。 番号にダッシュ'がついているのは、分出公理は後々に出てくる公理から証明されるので、ZFCに数える必要がないためです。 外延性公理によってこのようなbは確定し、 {x∈a?P(x)} と表されます。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/48

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