現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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292: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 14:00:58.59 ID:0oc9Ztsl

>>291
つづき

（追加参考）
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/
Prof. Dr. YUJI YOSHINO
Department of Mathematics
Faculty of Science
Okayama University
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/oldlectures.html
Teaching (in Japanese) Old Lectures
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/syuugouron.pdf
２００３年度「代数基礎」講義(２回生用）YUJI YOSHINO 岡山大
集合の記号になれる
(抜粋)
P11
3.2 順序数
? 各整列集合の同型類にひとつずつ「名前」をつける。与えられた整列集合が属する同型類の名前をその整列集合の順序数という。
? 有限整列集合 {1, 2, . . . , n} の順序数を n と書く。（心は nth の意味。）
? 整列集合 N の順序数を通常 ω で表す。
? 辞書式順序の定義。
? S と T が整列集合のとき，辞書式順序で S × T もまた整列集合である。
? 順序集合の合併。
? S と T が整列集合のとき，その合併 S + T もまた整列集合である。
? S と T が整列集合で，それぞれの順序数が α, β のとき，その和 α + β を S + T の順序数，その積
　α ・ β を S × T の順序数として定義する。

例題 3.2.1 n ∈ N について，n + ω = ω である。一方， ω + n 6= ω である。理由を考えよ。
例題 3.2.2 n ∈ N について，n ・ ω 6= ω ・ n である。実際，ω ・ 2 = ω + ω, 2 ・ ω = ω である。

定理 3.2.3 (整列集合の比較定理) 二つの整列集合 S と T があるとき，つぎのどれかひとつだけが必ず
成立する。
(1) S と T は順序同型である。
(2) a ∈ S が存在して，S < a > と T は順序同型である。
(3) b ∈ T が存在して，S と T < b > は順序同型である。
? S と T の順序数がそれぞれ α, β であるとする。(1) 〜 (3) の状況のとき，それぞれ α = β, α > β,
α < β と定義する。
系 3.2.4 (順序数の比較可能定理) α, β が順序数のとき，α = β, α > β, α < β のどれかひとつだけが必
ず成立する。
例題 3.2.5 1 < 2 < ・ ・ ・ < ω < ω + 1 < ・ ・ ・ < ω ・ 2 < ω ・ 2 + 1 < ・ ・ ・ < ω ・ 3 < ・ ・ ・ < ω ・ ω < ・ ・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/292

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