[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/

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288: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 11:56:57.56 ID:0oc9Ztsl >>287 申し訳ないが、意味が取れない １）下記、Zermelo (1908b) ”(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member” ２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える ３）で、Zermelo (1908b)では正則性公理は、無かった（∵1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された） ４）しかし、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成 に、正則性公理からの規制（有限回に限られる？）があると、そういう話はないでしょ？ 　じゃ、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成が、これの超限回繰返しが可能なわけですよね （>>224より） https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Stanford Encyclopedia of Philosophy Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett First published Tue Jul 2, 2013 (抜粋) 1. The Axioms Given this, the one fundamental relation is that of set membership, ‘ε’ , which allows one to state that an object a belongs to, or is in, a set b, written ‘a ε b’.[4] Zermelo then laid down seven axioms which give a partial description of what is to be found in B. These can be described as follows: I.Extensionality This says roughly that sets are determined by the elements they contain. II.Axiom of Elementary Sets This asserts (a) the existence of a set which contains no members (denoted ‘0’ by Zermelo, now commonly denoted by ‘?’); (b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and (c) the existence, for any two objects a, b, of the unordered pair {a, b}, which has just a, b as its members. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/288

289: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 12:08:13.78 ID:Ty9mG3gK >>288 どの行がわからないですか？ 仮定は降鎖列の長さに最大値が無いですね。 では長さ1の列があるからそれを Ω=x11 とおくのはいいですよね？ 次に長さ2の列もあるから Ω=x21∋x22 もありますよね？ 以下 Ω=x32∋x32∋x33 Ω=x41∋x42∋x43∋x44 といくらでも長いのがあるのでACであらかじめ取れますよね？(ほんとはACいらないけど、それは多分納得してもらえそうに無いので諦めます) ここまでは理解できますか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/289

291: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 13:59:45.75 ID:0oc9Ztsl >>288 > ２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える 補足 繰返すが、どんな集合であれ、対の公理で「a → {a}」が言えるのです これは、公理だから、無制限に成立します（有限に限らない） aが、たとえ無限集合でも、まとめて、the singleton set {a} にできる 回数は、無制限です １）例えば、aが実数の集合Rで非可算無限集合としても、{R}はシングルトンです ２）そこで分り易く、素朴集合論で、おもりに例えてみよう（分かり易さは人によるけど（＾＾　） 　おもりの列：1g,2g,3g,・・ng・・ 　これ、全部1元集合の列で、シングルトンの列。集合の濃度は１です 　しかし、おもりは重さという指標をもっている 　そして、順序列を成す 　1g<2g<g3<・・<ng<・・ （可算自然数N内とします） 　です ３）そして、重さという指標の順序列で、極限で極限順序数ωが可能 ４）それには、>>287みたく二次元の指標 (x,y)を使えば良い（下記 直積集合上の順序「辞書式順序」 ご参照） 　(0,1g)<(0,2g)<(0,3g)<・・<(0,ng)<・・<(1,1g)<(1,2g)<(1,3g)<・・<(1,ng)<・・ 　とすれば良い 　この場合、(0,ng)<・・の後の、最初の(1,1g)がωに相当します。順序型という意味の対応でね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 順序集合 直積集合上の順序 ・辞書式順序: (a,b) <= (c,d) ⇔ a<c ∨ (a=c ∧ b<=d) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/291

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