現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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283: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 10:06:43.68 ID:0oc9Ztsl

>>269

＜補足参考＞

従属選択公理(axiom of dependent choice)は、ADCか
http://alg-d.com/math/ac/dc.html
従属選択公理について 壱大整域 2013年10月25日
(抜粋)
定義 次の命題を従属選択公理(axiom of dependent choice)という．
非空集合 X 上の二項関係 R⊂X×X が「任意の x∈X に対してある y∈X が存在して xRy」を満たすとき，Xのある点列 { xn }n∈ωが存在して任意の n に対して xnRxn+1 となる．
命題1 選択公理 ⇒ 従属選択公理
命題2 従属選択公理 ⇒ 可算選択公理
定理 選択公理 ⇔ 任意の順序数αに対してDC(α)が成り立つ．

選択公理は、AC
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）
(抜粋)
なお、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる[2]。
従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。

可算選択公理は、ACCやACω
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理（英: Axiom of countable choice）ACωとも表記される

連続体仮説は、CH
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC
連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）

決定性公理は、ADか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
決定性公理 （けっていせいこうり、英: axiom of determinacy）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
Axiom of determinacy

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/283

297: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 15:26:20.58 ID:0oc9Ztsl

>>294

再度まとめておきます
現代数学の無限の議論で、

１．整列可能定理と関連して、デデキント無限とかの関連で（>>236-238）どこまでの強さの選択公理を採用するか（>>283）の問題がある
　　可算選択公理＜従属選択公理＜選択公理＜連続体仮説
　　ですね。決定性公理は、別の系統なのでしょうね
２．レーヴェンハイム-スコーレムの定理に関連して（>>251-252）
　　一階述語論理に限定するのか？　それとも、二階以上の高階述語論理を採用するのか？
　　ゲーデル先生ご存命の20世紀前半は一階述語論理全盛で、「二階以上はパラドックスのおそれあり」で忌避されていた傾向あり
　　ところが、いろいろあって、圏論などもその1つと思うが、「二階以上もやろう」という流れができた
３．あと、逆数学なんて流れもあるようです（「現代数学の全部を網羅する公理系ではなく、分野毎に特化した公理系」なのでしょうかね？）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
逆数学
(抜粋)
逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。
「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。

逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。
実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析の結果を反映している。

逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/297

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