[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/

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272: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 07:50:14.04 ID:0oc9Ztsl >>266 ども、レスありがとう >どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。 同意です 補足説明します 普通の自然数N+ω：1,2,3,・・n,・・,ω に対して（ωは極限順序数で>>164ご参照） (>>210より) ノイマン構成：1n,2n,3n,・・nn,・・,ωn 後者関数n；suc(a)n := a∪{a} ツェルメロ構成：1e,2e,3e,・・ne,・・,ωe 後者関数e；suc(a)e := {a} ここで、ノイマン構成同様に、ツェルメロ前者集合の和を取る Σen＝{Φ,1e,2e,3e,・・n-1e}((簡便に表現した) なお、集合の濃度はn) 縦に並べると 1,1n,1e,Σe1 2,2n,2e,Σe2 3,3n,3e,Σe3 　・ 　・ n,nn,ne,Σen 　・ 　・ ω,ωn,ωe,Σeω ＜まとめ＞ ・ωnは、ノイマンの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nたちの和で、自然数N相当（区別のためにNnとでも） ・ωeは、ツェルメロの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nの極限の単元集合(singleton)（順序型） ・Σeωが、ツェルメロの自然数N相当で、有限の前者関数eの和の極限の集合（濃度） ・なので、ノイマン構成では、順序型と濃度を一つの後者関数nで表現できている 　対して、ツェルメロ構成での後者関数eでは、表現できるのは順序型のみ 　濃度の議論には別の集合、例えば前者関数eの集合和Σenみたいなのが必要（これがツェルメロ構成の欠点） 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/272

273: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 08:02:50.36 ID:0oc9Ztsl >>272 補足 縦に並べると 1,1n,1e,Σe1 2,2n,2e,Σe2 　・ 　・ 　・ ω,ωn,ωe,Σeω で 自然数N+ω、ノイマン自然数Nn+ωn、ツェルメロ自然数Ne+ωe、ツェルメロの前者の和集合Σen+Σeω この４者の間に全単射が存在します この一言を付け加えておきます （蛇足みたいだが、もし試験答案で時間があるならなら一言書くべき。”分かっているよ”というアピールのために（答案が戻って来ない試験がある。減点されても、文句をいう機会がない場合がある）） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/273

274: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 08:07:46.82 ID:0oc9Ztsl >>272 追加 ここらは、全部下記の”Stanford Encyclopedia of Philosophy”に、類似のことが書かれていると思うよ （>>224より） https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Stanford Encyclopedia of Philosophy Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett First published Tue Jul 2, 2013 (抜粋) 3. The Major Problems with Zermelo's System 3.1 Separation 3.2 Completeness 3.2.1 Representing Ordinary Mathematics 3.2.2 Ordinality 3.2.3 Cardinality 3.2.4 Ordinals http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/274

275: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 08:10:24.44 ID:Ty9mG3gK >>272 では {n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1} には最大値が存在してしまうのでは？ ∵) 最大値がないとする。 任意にmをとるとき長さmの列 xmn‥∈ xm3∈ xm2∈xm1, Ω=xm1 が存在するが 全てのm,l≧1でΩ=xm1=xl1なのでこれをx1とおく。 全てのm≧2でxm2∈x1、x1はsingletonなのでxm2は共通。これをx2とおく。 全てのm≧3でxm3∈x2、x1はsingletonなのでxm3は共通。これをx3とおく。 ‥‥ この時‥‥x3∈x2∈x1は無限降鎖列により正則性公理に矛盾。□ 正則性公理は外せないけどもう少しうまくやればACも外せるし。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/275

276: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 09:18:29.19 ID:0oc9Ztsl >>275 どうも。レスありがとう >{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1} >には最大値が存在してしまうのでは？ 別に言い訳するつもりはないけど 　>>272で同意したのは、 ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです で、あなたの {n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1} に対して >>266では F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn} だったでしょ つまり、順序が逆 例えば 1,2,3,・・・,n は上昇列だが -n,・・・,-3,-2,-1 降下列です 公理的集合論から、自然数N（0,1,2,3,・・・,n,・・）が得られた後に 整数Zを構成して、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列の構成（無限降下列も可）は、ありでしょう いま、問題にしていることは、公理的集合論で 空集合Φから、後者関数のみを使って、作った集合で∈順序がどうなるか（無限降下列が存在するかどうか）？ それは、後者関数の作り方にもよるけど、選択公理（あるいは可算選択公理）にも関連しているらしい（>>269）（＾＾ （もちろん、正則性公理も重要） そして、たとえ有限を扱っていても、青天井（いくらでも大きな）なら、 「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」 （レーヴェンハイ-スコーレムの定理）みたいなことになる（>>251） で、まとまらないけど、 要するに、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列は、今論じている∈順序とは別と思う（おそらく一般的な順序型の議論になる） これ以上の細かい議論は、>>266 ID:YULRpgNc さんとよろしく （もしあなたと同一人物ならご容赦） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 レーヴェンハイ-スコーレムの定理 (抜粋) 定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。 この事実を定理の一部とする場合もある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/276

280: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 09:37:23.07 ID:0oc9Ztsl >>272-273 補足 ツェルメロ構成での前者関数eの集合和Σen は、 >>276との関連で言えば 包含関係での⊂順序にはなるが、 帰属関係の∈順序にはならない それは、公理という視点では、問題でしょうね （∵ ∈だけで話を済ますのが綺麗。⊂は、定義されていないのだから） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/280

281: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 09:45:09.55 ID:0oc9Ztsl >>278-279 ？ （>>272より） ツェルメロ構成： 後者関数e；suc(a)e := {a} （aのシングルトン {a} ） これで a∈ {a} つまり、前者集合e ∈ 後者集合e ですよ。逆転はない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/281

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