現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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269: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 06:41:17.58 ID:0oc9Ztsl

>>112 補足

∈の無限降下列と従属選択公理の話（下記）
ゼルプスト殿下 @tenapyonは、藤田博司先生愛媛大
https://togetter.com/search?q=%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86&t=q
「従属選択公理」の検索結果 Togetter
https://togetter.com/li/760984
2014年12月23日 Togetter
【基礎の公理】∈の無限降下列を作るには従属選択公理ではなく可算選択公理があればよいか?
(抜粋)
はかり @mg_toHKR
正則公理と無限降下列の非存在が同値であることを示すのに使ったのは従属選択公理だけど、無限降下列作るなら別に可算無限でいいわけだし可算選択公理でも良いのでは

MarriageTheorem @MarriageTheorem
twitter.com/mg_toHKR/statu… これ、何となく違いそうな気がするけど実際どうなのでしたっけ

ゼルプスト殿下 @tenapyon
@MarriageTheorem 「可算回の選択だから可算選択公理で十分では？」という考えの問題点を指摘するのは簡単ですが、反例があるかというと、それは基礎の公理が破れているのに∈-無限下降列が存在せずそのうえ可算選択公理が成立するモデルなので、容易には用意できませんね

ゼルプスト殿下 @tenapyon
フレンケル・モストフスキ・モデルの方法で基礎の公理の二つのバージョンが同値でないことは示せる気がするので、あとはそのモデルで可算選択公理とが成立しているかどうかですかね。

USB^800 @usb_usb
アイディア：ZF＋可算選択公理＋￢DCのモデルからスタート。<X,R>を￢DCのウィットネスとする。このXは外延的（xとyのpredessor全体が一致したらｘ＝ｙ）と思ってOK.

USB^800 @usb_usb
permutationモデルでもOKだと思うけど、もっと簡単そうな旧版クーネン4章演習１８を使う。VからVへの写像FをXの要素ｘとそのpredessor全体をスワップ、ほかは動かさないようなものとして、aEb ⇔a ∈F(b)で定義する。

USB^800 @usb_usb
一般論として、＜V,E>はZF^-のモデルになる。後は本物の可算選択公理から<V,E>も可算選択公理をみたし、ついでにEの無限降下列は存在しないことがチェックできる、はず。

USB^800 @usb_usb
あ、あともちろん<V,E>では正則性はなりっていないこともチェックできる。

つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/269

270: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 06:42:21.35 ID:0oc9Ztsl

>>269

つづき

USB^800 @usb_usb
（もうちょっと発展させれば、修士論文あたりのネタにはできそう…）

ゼルプスト殿下 @tenapyon
@usb_usb @MarriageTheorem あっ、もう詳細が書いてありましたね。俺の考えた筋は少し違ってて、木[0,1]^{<ω}を下向きの半順序だと思ってこれと同型な推移的集合Tが存在する集合論でWF(T)を作りTの節の後続者を入れ換える置換の群で置換モデルを作るの。

USB^800 @usb_usb
@tenapyon @MarriageTheorem　ZF＋可算選択公理＋￢DCのモデル作るのに使うといえば使います。このモデルが得られちゃえば、あとはそこから非整礎モデルをつくる普通の方法で。

はかり @mg_toHKR
@tenapyon はじめまして。可算選択公理の話、もうただすごいなぁと思って見ていたのですが可算選択公理は選択公理を可算無限に制限したものではないのですか？
いきなり質問しちゃってすみませんがよろしければ・・・

ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR こんにちは 可算選択公理は可算個の集合が先に与えられているときに「こいつらから1個ずつ要素を取ってこい」って言われたらできますよ、っていうことですね。これに対して従属選択公理は、1人を倒してもそれより強い奴が無数にいる少年ジャンプの作品世界みたいな所で（続き

ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR 1人目はこいつ、2人目にそれより強いこいつ、3人目にさらにそれより強いこいつ、…、という無限列が取れますよということで、選択は確かに可算回ですが、選択されるものの範囲がそれまでに選択してきたものに依存しながら変わっていくところが違います。

ゼルプスト殿下 @tenapyon
@mg_toHKR この違いが意外に大きいんです。∈無限下降列は、何か集合が決まらないと、その次に取る要素の範囲も決まらないから、従属選択が必要になってくるのです。
って説明でよろしいでしょうか？

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/270

276: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 09:18:29.19 ID:0oc9Ztsl

>>275
どうも。レスありがとう

>{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
>には最大値が存在してしまうのでは？

別に言い訳するつもりはないけど
　>>272で同意したのは、
ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです

で、あなたの
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
に対して
>>266では
F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn}
だったでしょ

つまり、順序が逆

例えば
1,2,3,・・・,n
は上昇列だが
-n,・・・,-3,-2,-1
降下列です

公理的集合論から、自然数N（0,1,2,3,・・・,n,・・）が得られた後に
整数Zを構成して、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列の構成（無限降下列も可）は、ありでしょう

いま、問題にしていることは、公理的集合論で
空集合Φから、後者関数のみを使って、作った集合で∈順序がどうなるか（無限降下列が存在するかどうか）？
それは、後者関数の作り方にもよるけど、選択公理（あるいは可算選択公理）にも関連しているらしい（>>269）（＾＾
（もちろん、正則性公理も重要）

そして、たとえ有限を扱っていても、青天井（いくらでも大きな）なら、
「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」
（レーヴェンハイ-スコーレムの定理）みたいなことになる（>>251）
で、まとまらないけど、
要するに、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列は、今論じている∈順序とは別と思う（おそらく一般的な順序型の議論になる）

これ以上の細かい議論は、>>266 ID:YULRpgNc さんとよろしく
（もしあなたと同一人物ならご容赦）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイ-スコーレムの定理
(抜粋)
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
この事実を定理の一部とする場合もある。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/276

283: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 10:06:43.68 ID:0oc9Ztsl

>>269

＜補足参考＞

従属選択公理(axiom of dependent choice)は、ADCか
http://alg-d.com/math/ac/dc.html
従属選択公理について 壱大整域 2013年10月25日
(抜粋)
定義 次の命題を従属選択公理(axiom of dependent choice)という．
非空集合 X 上の二項関係 R⊂X×X が「任意の x∈X に対してある y∈X が存在して xRy」を満たすとき，Xのある点列 { xn }n∈ωが存在して任意の n に対して xnRxn+1 となる．
命題1 選択公理 ⇒ 従属選択公理
命題2 従属選択公理 ⇒ 可算選択公理
定理 選択公理 ⇔ 任意の順序数αに対してDC(α)が成り立つ．

選択公理は、AC
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）
(抜粋)
なお、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる[2]。
従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。

可算選択公理は、ACCやACω
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理（英: Axiom of countable choice）ACωとも表記される

連続体仮説は、CH
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC
連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）

決定性公理は、ADか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
決定性公理 （けっていせいこうり、英: axiom of determinacy）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
Axiom of determinacy

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/283

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