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現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/
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261: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 10:29:27.72 ID:RRsRScoq >>251 メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ 追加 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90 デデキント無限 (抜粋) ZFにおけるデデキント無限 次の4条件は、ZF上同値である。特に、これらの同値性はACを用いないで証明できることに注意せよ。 ・A はデデキント無限である。 ・全射ではないが単射であるようなA からA への関数が存在する。 ・自然数の集合N からA への単射が存在する。 ・A は可算無限な部分集合を持つ。 どのようなデデキント無限集合A も以下の条件を満たす。 ・単射ではないが全射の、A からA への関数が存在する。 このことを、“A は双対デデキント無限である”という。A が双対デデキント無限であるならばA がデデキント無限であるということは（ACを除いたZF上で）証明可能でない。 どのような双対デデキント無限集合も次の（同値な）条件を満たす、ということがZF上で証明できる。 ・A から可算無限集合への全射が存在する。 ・A の冪集合がデデキント無限である。 （この条件を満たすことを、弱デデキント無限(weakly Dedekind infinite)であるということがある。） 弱デデキント無限であるならば無限であることはZFにおいて証明されている。 また、整列無限集合はデデキント無限であることもZFにおいて示されている。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/261
262: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 10:29:53.11 ID:RRsRScoq >>261 つづき 選択公理との関係 整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。しかしながら、無限とデデキント無限の同値性はACよりもっと弱いものである。すなわちこの同値性を仮定してもACは導かれない。 とくに可算無限な部分集合を持たない無限集合の存在するようなZFのモデルが存在する。このモデルでは無限だがデデキント有限である集合が存在する。以上よりそのような集合はこのモデルにおいて整列不可能である。 可算選択公理CC（ACω）を仮定すればいかなる無限集合もデデキント無限であることが証明される。しかしながら、この同値性は、実際にはCCより真に弱い。（ZFの無矛盾性の仮定のもとで）CCは成立しないが2つの無限集合の定義の同値性が成り立つZFのモデルが存在する。すなわちこの同値性を仮定してもCCは導かれない。 可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明 デデキント無限集合が無限であることはZFで容易に証明される。実際、任意の有限集合はある有限順序数と等濃であって、有限順序数がデデキント有限であることは帰納法により証明できる。 可算選択公理を用いることによって、その逆が証明できる。つまり、無限集合はデデキント無限であることを以下のように証明できる[2]。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/262
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