[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/

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210: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/08(火) 07:22:51.63 ID:3SQHWkr4 >>207 >> つまり、Nは全ての有限の元を含むので、 >Nが全ての有限集合を含むわけないでしょ？ ？ あなたは、>>127で (引用開始) ω' を 0∈ω' 、n∈ω' ⇒ n+1∈ω' を満たすものに取れる。(∵無限公理) ωを ω={x∈ω' | xは有限集合かつ順序数} と置くとωは自然数全体からなる集合となる。(∵分出公理) QED. (引用終り) と書かれたでしょ？ N：自然数全体からなる集合ω でしょ？ Nには、全ての自然数ｎが含まれるでしょ？ さてそこで ノイマン構成で、任意aの後者関数；suc(a) :=a∪{a}と定め、また、現代数学の整列順序型（下記）を借用しましょう 整列順序型E：0,1,2,・・,n,・・,ω,ω+1,ω+2,・・,ω+n,・・ 整列順序型N：0,1,2,・・,n,・・ ここに、Eは>>196での無限公理によって生成された自然数以外を含む集合を表わす記号から、Nは自然数の集合を表わす記号から 整列順序型E、Nたちは、各集合の元を整列させた順序列です（なお、ω+1などは、ωの後者ですが、略記させて頂きました。以下同じ） 同じことを、ツェルメロ構成で行います。任意aの後者関数；suc(a) :={a}と定めます 整列順序型E’：0,1,2,・・,n,・・,Ω,Ω+1,Ω+2,・・,Ω+n,・・ 整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・ E’,Ωは、上記E,ωに対応します。N’も同様 但し、ツェルメロ構成の”0,1,2,・・,n”たちは、ノイマン構成とは後者関数が違います。が、記号の濫用です つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/210

211: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/08(火) 07:23:36.89 ID:3SQHWkr4 >>210 つづき ここで、現代数学の順序同型（下記）を借用しましょう ”整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・” は、ちょうど自然数N全体を渡り、自然数Nと順序同型です これを認めれば、ツェルメロの整列順序型E’とノイマンの整列順序型Eとは、順序同型 全単射で、ツェルメロのΩが、ノイマンのωに対応する よろしいでしょうか？ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B 順序型 (抜粋) 整列順序型と順序数 整列集合の順序型を特に整列順序型と呼ぶ。α を順序数とし ∈α を α 上の所属関係とすると、(α, ∈α) は整列集合なので type(α, ∈α) は整列順序型である。逆に、任意の整列集合は必ずある順序数 α に対する (α, ∈α) と同型なので、整列順序型は必ずある順序数 α に対する type(α, ∈α) の形で表すことができる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列集合 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 順序集合 写像と順序 定義 S, T を順序集合とし、f: S → T を写像とする。このとき ・f が順序同型写像（英語版）であるとは、f が順序埋め込みな全単射である事を言う。 　順序同型 f: S → T が存在するとき、S と T は順序同型あるいは単に同型であるという。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/211

214: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/08(火) 09:37:02.76 ID:ofPIORDH >>210 >>211 > >>210 > つづき > > ここで、現代数学の順序同型（下記）を借用しましょう > ”整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・” は、ちょうど自然数N全体を渡り、自然数Nと順序同型です > これを認めれば、ツェルメロの整列順序型E’とノイマンの整列順序型Eとは、順序同型 > 全単射で、ツェルメロのΩが、ノイマンのωに対応する > > よろしいでしょうか？ > ダメです。 あなたはωから先にダッシュをつけて区別しますが2以降はツェルメロ構成とノイマン構成では違うものでしょ？ なのでもうここから区別しないとダメです。 ノイマンの構成ではまず 0,1,2,3,‥‥ が順に構成され、それと無限公理から存在が保証されている E= {0,1,2,‥‥} ∪ {いらないもの} の存在が保証されています。 ここから分出公理で {x∈E | x: finite, x: ordered inthe sence of Neumann} という集合がとれますがコレでいらないもが削ぎ落とされて 求めるωがとれたのでした。 あなたが同様にというならこの x: finite, x: ordered inthe sence of Neumann の部分を何に書き換えるのかを明示しないと何をやってもダメです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/214

272: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 07:50:14.04 ID:0oc9Ztsl >>266 ども、レスありがとう >どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。 同意です 補足説明します 普通の自然数N+ω：1,2,3,・・n,・・,ω に対して（ωは極限順序数で>>164ご参照） (>>210より) ノイマン構成：1n,2n,3n,・・nn,・・,ωn 後者関数n；suc(a)n := a∪{a} ツェルメロ構成：1e,2e,3e,・・ne,・・,ωe 後者関数e；suc(a)e := {a} ここで、ノイマン構成同様に、ツェルメロ前者集合の和を取る Σen＝{Φ,1e,2e,3e,・・n-1e}((簡便に表現した) なお、集合の濃度はn) 縦に並べると 1,1n,1e,Σe1 2,2n,2e,Σe2 3,3n,3e,Σe3 　・ 　・ n,nn,ne,Σen 　・ 　・ ω,ωn,ωe,Σeω ＜まとめ＞ ・ωnは、ノイマンの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nたちの和で、自然数N相当（区別のためにNnとでも） ・ωeは、ツェルメロの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nの極限の単元集合(singleton)（順序型） ・Σeωが、ツェルメロの自然数N相当で、有限の前者関数eの和の極限の集合（濃度） ・なので、ノイマン構成では、順序型と濃度を一つの後者関数nで表現できている 　対して、ツェルメロ構成での後者関数eでは、表現できるのは順序型のみ 　濃度の議論には別の集合、例えば前者関数eの集合和Σenみたいなのが必要（これがツェルメロ構成の欠点） 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/272

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