現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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182: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 20:20:45.85 ID:d8OQiN+r

>>181
つづき

数学の議論では、変数 i を含む項 T と、集合 I があるとき、i∈I に対する T 全体からなる“集合”を考える、ということがしばしばあります。
　大抵の場合、i∈I のとき、T は i に無関係なある集合 A に属しているので、これを集合と見なすことは分出公理により正当化されるのですが、順序数の議論のような、集合論として“きわどい分野”での議論を行うときは、このような条件が成り立っていない場合があります。
　ところで、この場合の項 T は、集合 I の元 i に対してある対象 T を表しており、i に T を対応させる関数が与えられたとみなすことができます。
　そこで、集合 I の関数による像 { T | i∈I } となる集合が存在すると言う意味の置換公理：

[∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) )  →  y = z ) ]  →  ∀a ∃b ∀y [ y∈b  ⇔  ∃x ( x∈a  ∧  P(x, y) )]
を仮定します。
　この公理は一見わかりにくい形をしていますが、左辺の ∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) )  →  y = z ) というのは、x と y に関する関係 P(x, y) が一価関係であるということ、言い換えると、与えられた x に対して P(x, y) を満たす y を対応させる対応が x の関数になっていることを意味します。
　従って、上の置換公理の述べるところは、一価関係 P が表す関数による集合 a の像となる集合が存在する、ということを意味しています。このような集合 b は、外延性公理により唯一つであることが証明できます。

さて、この置換公理を仮定すると、変数 y を含まない任意の命題 R に対して R  ∧  x = y という命題を P(x, y) と書けば、これは明らかに一価関係です。
ゆえに、置換公理によって ∀a ∃b ∀y [ y∈b  ⇔  ∃x ( x∈a  ∧  R  ∧  x = y ) ] すなわち ∀a ∃b ∀x [ x∈b  ⇔  ( x∈a  ∧  R ) ] となって、これは分出公理に他なりません。すなわち分出公理は置換公理から導出できるのです。

(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/182

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