現代数学の系譜　カントル　超限集合論

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)
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175: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 16:07:45.71 ID:d8OQiN+r

>>102 追加
＞(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and

この”for any object a, of the singleton set {a}”
は、ZFCでは、対の公理だね
a → {a}が言える

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
対の公理
(抜粋)
性質
外延性の公理により、任意のx,yに対しその対が一意に定まる。その集合のことを{x,y}と記す。 また同じく外延性より、x=yの場合における対{x,x}は一元集合{x}に等しいので、単集合の存在も導くことができる。
他の公理との関係
対の公理はZF公理系の他の公理と独立ではない。すなわち、置換公理および「濃度が2以上の集合の存在」から、任意のx,yに対する対{x,y}の存在を導ける（濃度が2以上の集合の存在については、無限公理、あるいは空集合の公理と冪集合の公理の組み合わせから導くことができる）。 そのため対の公理は、公理系を記述する際に省略されることもある。

https://unaguna.jp/article/archives/14
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
外延的記法 (対の公理と和集合の公理)
対の公理
公理 1 (対の公理).
∀x∀y∃z∀w[w∈z←→w=x∨w=y]
すなわち、いかなるモノ (集合) x, y についても、「x と y だけが属する集合」が存在する。
まさに書いてあるとおりで、この対の公理によって上で挙げた「1と2だけが属する集合」が存在するのである。この対の公理を使うことで、2つのモノ (集合) だけが属する集合はひととおり存在が証明される。
また、1つのモノ (集合) だけが属する集合の存在も対の公理から証明できる。というのも、対の公理では x と y が同じでないことは要求してないので、たとえば「3と3だけが属する集合」である {3,3} も対の公理により存在する。
そしてこの {3,3} と「3だけが属する集合」である {3} を比較すると、3が両方の集合に属していてそれ以外のモノはいずれにも属していないので、どちらか一方にしか属していないモノは存在しない。
よって外延性の公理より {3,3} と {3} は同じ集合である。
したがって、対の公理により {3,3} の存在が示されるということは、{3} の存在が示されるということと同義である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/175

180: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 20:18:43.44 ID:d8OQiN+r

>>175
商集合は、分出公理を使うのか
https://unaguna.jp/article/archives/25
U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) > 同値関係と同値類
(抜粋)
同値類
例として「偶奇という点で同じ」ことを表す同値関係を定義しよう。その場合たとえば
M={?x,y?∈ω×ω?∃z∃w[x+2z=y+2w]}
と定義すればよい (

この定義の下では xMy であることと、x+2z=y+2w を満たす自然数 z, w が存在すること (x と y が2の倍数加算の違いを除いて一致すること) が一致する。

定理 2.上で定義した関係 M は同値関係である。

M の定義文の中の 2 の部分を他の非零自然数 n に変えることで「n で割った時の余りという点で同じ」ことを表す関係も作れる。自然数同士のそのような関係は n を法とする合同関係と呼ばれる。
2 の部分を 0 にすると、aMb と a=b が一致するので、通常の「等しい・同じ」を表す関係になる。

同値類
同値類は同値関係 R によって同じと見なされるモノだけがすべて属する集合である。例えば上で例示した ω 上の同値関係 M の同値類を考えると
Mo={1,3,5,7,9,…}
Me={0,2,4,6,8,…}
という二つの同値類がある。たとえば 1M3 だから 1 と 3 は同じ同値類に属し、2M3 ではないから 2 と 3 は異なる同値類に属する。

同値類は、それに属する1つの元を用いて表すことができる。R を x 上の同値関係としたとき、「a と同値なモノがすべて属し、そうでないモノは属さない集合」である
{y∈x?yRa}
は a の同値類と呼ばれ、[a] や [a]R と書く。
例えば上の Mo は「1が属する同値類」という意味で [1] とも表現する。
1が属する同値類と3が属する同値類は同じ Mo を指しているので [1]=[3] である。
この例の 1 や 3 のように同値類に属するモノのうち同値類の表現に使われたモノをその同値類の代表元とよぶ。
原則としてどのモノを代表元に選んでもよい。

商集合
商集合は、同値関係 R による同値類だけがすべて属する集合のことである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/180

288: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 11:56:57.56 ID:0oc9Ztsl

>>287

申し訳ないが、意味が取れない

１）下記、Zermelo (1908b) ”(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member”
２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える
３）で、Zermelo (1908b)では正則性公理は、無かった（∵1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された）
４）しかし、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成 に、正則性公理からの規制（有限回に限られる？）があると、そういう話はないでしょ？
　じゃ、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成が、これの超限回繰返しが可能なわけですよね

（>>224より）
https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett
First published Tue Jul 2, 2013
(抜粋)
1. The Axioms
Given this, the one fundamental relation is that of set membership, ‘ε’ , which allows one to state that an object a belongs to, or is in, a set b, written ‘a ε b’.[4] Zermelo then laid down seven axioms which give a partial description of what is to be found in B. These can be described as follows:
I.Extensionality
This says roughly that sets are determined by the elements they contain.
II.Axiom of Elementary Sets
This asserts
(a) the existence of a set which contains no members (denoted ‘0’ by Zermelo, now commonly denoted by ‘?’);
(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and
(c) the existence, for any two objects a, b, of the unordered pair {a, b}, which has just a, b as its members.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/288

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