現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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112: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 08:39:19.54 ID:d8OQiN+r

>>77 追加

下記、定理 93ですけど、ここに集積点を含まないことは明白ですね（＾＾
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人 筑波大
http://math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/set2.pdf
坪井明人
11 整列集合
定義 88（整列順序）順序集合 (X, <) が整列集合（あ
るいは整列順序集合）であるとは，空でない任意の
A ⊂ X の中に（A の）最小元が存在することである．
注意 89 整列集合は全順序集合である．全順序集合
であることは，２元集合 A = {x, y} に必ず最小元が
存在することからわかる．
例 90
1. (N, <) は整列集合である．
2. (Z, <) は（全順序集合であるが）整列集合でない．
3. 有限の全順序集合は整列集合になる．
関数 f : N → X は X の元からなる無限列と考えられる．
無限列は (an)n∈N などで表す．
定義 91 (X, <) を順序集合とする．X の元の無限列
(an)n∈N が無限降下列であるとは，任意の n ∈ N に対して，
an+1 < an が成立することである．
例 92 1. Z における数列 (an)n∈N を an = ?n で定めると，無限降下列である．
2. N の中には無限降下列は存在しない．

定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
1. (X, <) は整列集合である；
2. (X, <) は全順序集合で，なおかつ無限降下列を持たない．

証明： 1 ⇒ 2: (X, <) を整列集合とする．全順序
集合になることは既に調べた．X の中に無限降下
列 (an)n∈N が存在したとしよう．このとき，集合
A = {an : n ∈ N} ⊂ X は最小元を持たない．これ
は X が整列集合であることに反する．
2 ⇒ 1: 2 を仮定する．空でない A ⊂ X を任意に
とる．A に最小元が存在することを示そう．a0 ∈ A
を選ぶ．これが A の最小元ならば議論は終了する．
そうでなければ，a1 ∈ A, a1 < a0 が存在する．a1
が最小元ならば議論は終了するので，再び a2 ∈ A,
a2 < a1 が存在する．以下同様に A の元 an を
a0 > a1 > a2 > ・ ・ ・ an?1 > an
となるように選ぶ．A は無限降下列を持たないので，
この構成はいつか止まる．すなわち，ある n に対し
て an ∈ A が最小元になる．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/112

189: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/07(月) 06:37:17.06 ID:2lTTrhZd

まとめます

１）正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
　”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
　底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
　ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
（>>159-160ご参照）
２）空集合から、後者関数を適用し、それに無限公理を適用して、自然数Nを構成する
　このとき、無限公理を適用しただけでは、
　我々の必要とする自然数N（全ての有限ｎたちのみを含む集合）より大きな集合が出来てしまう
　それを、自然数Nに絞り込む操作を必要とする
　つまり、無限公理により、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
　そのような元たちは、１）で述べたように、正則性公理に反しないのです
（>>110-112）
３）ツェルメロ構成では、aの後者関数；suc(a) := {a} なので
　この自然数構成で、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
　そのような元たちを絞って、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}と、自然数の集合Nができる
　そこで、全ての有限ｎたちを超える元たちの中で、最小の元が、ツェルメロ構成でのωに相当します（定義）
（>>110>>151）
４）ところで、正式な順序数ωの定義は、本来は、下記”整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法”による
　ノイマン構成では、この定義がそのまま適用できる
　ツェルメロ構成では、下記”順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できる”ので
　その方法により、ωを定義した上で、３）のツェルメロ構成でのωを再定義すれば良い
QED

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
略

順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/189

269: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 06:41:17.58 ID:0oc9Ztsl

>>112 補足

∈の無限降下列と従属選択公理の話（下記）
ゼルプスト殿下 @tenapyonは、藤田博司先生愛媛大
https://togetter.com/search?q=%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86&t=q
「従属選択公理」の検索結果 Togetter
https://togetter.com/li/760984
2014年12月23日 Togetter
【基礎の公理】∈の無限降下列を作るには従属選択公理ではなく可算選択公理があればよいか?
(抜粋)
はかり @mg_toHKR
正則公理と無限降下列の非存在が同値であることを示すのに使ったのは従属選択公理だけど、無限降下列作るなら別に可算無限でいいわけだし可算選択公理でも良いのでは

MarriageTheorem @MarriageTheorem
twitter.com/mg_toHKR/statu… これ、何となく違いそうな気がするけど実際どうなのでしたっけ

ゼルプスト殿下 @tenapyon
@MarriageTheorem 「可算回の選択だから可算選択公理で十分では？」という考えの問題点を指摘するのは簡単ですが、反例があるかというと、それは基礎の公理が破れているのに∈-無限下降列が存在せずそのうえ可算選択公理が成立するモデルなので、容易には用意できませんね

ゼルプスト殿下 @tenapyon
フレンケル・モストフスキ・モデルの方法で基礎の公理の二つのバージョンが同値でないことは示せる気がするので、あとはそのモデルで可算選択公理とが成立しているかどうかですかね。

USB^800 @usb_usb
アイディア：ZF＋可算選択公理＋￢DCのモデルからスタート。<X,R>を￢DCのウィットネスとする。このXは外延的（xとyのpredessor全体が一致したらｘ＝ｙ）と思ってOK.

USB^800 @usb_usb
permutationモデルでもOKだと思うけど、もっと簡単そうな旧版クーネン4章演習１８を使う。VからVへの写像FをXの要素ｘとそのpredessor全体をスワップ、ほかは動かさないようなものとして、aEb ⇔a ∈F(b)で定義する。

USB^800 @usb_usb
一般論として、＜V,E>はZF^-のモデルになる。後は本物の可算選択公理から<V,E>も可算選択公理をみたし、ついでにEの無限降下列は存在しないことがチェックできる、はず。

USB^800 @usb_usb
あ、あともちろん<V,E>では正則性はなりっていないこともチェックできる。

つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/269

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