現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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110: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 07:57:27.47 ID:d8OQiN+r

>>95 追加

で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）

それを、最小の無限集合に絞って小さくする操作が必要です
最小の無限集合に絞った結果、Nには有限の元ｎしか含まれないものができる

なので、無限公理でできた最小に絞る前の無限集合には、
自然数を表現する以上の
つまり、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合が
含まれていることは
明白ですね
QED

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
(抜粋)
In axiomatic set theory and the branches of mathematics and philosophy that use it, the axiom of infinity is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory. It guarantees the existence of at least one infinite set, namely a set containing the natural numbers. It was first published by Ernst Zermelo as part of his set theory in 1908.[1]

Thus the essence of the axiom is:
There is a set, I, that includes all the natural numbers.

Extracting the natural numbers from the infinite set
The infinite set I is a superset of the natural numbers. To show that the natural numbers themselves constitute a set, the axiom schema of specification can be applied to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/110

151: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 11:23:00.82 ID:d8OQiN+r

>>110 補足

>Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….)
で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
(引用終り)

ツェルメロ構成で、aの後者関数：suc(a) := {a} なので
上記、set a に対して set {a}が必ず属するという、無限公理の規定の仕方をしているのかな？
（原典まで確認していないが）

ノイマン流では、で、aの後者関数：suc(a) := a∪{a} なので
この場合の無限公理は、set a に対して a∪{a}が必ず属すると規定される

まあ、自然数ｎに対しその後者ｎ＋１が必ず属する集合Nが存在という意味だな
このNは、我々の望む自然数ｎ以上のものを含む。というか、含んでも無限公理上はしかたない
だから、あとから不要なもの（後者）を排除するしかない

では、不要なもの（後者）とは何か？　我々の望むものは、自然数ｎ（有限）のすべて
だから、不要なもの（後者）とは、有限を超えたものであって、真に無限のもの
ツェルメロ構成では、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合たちですね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
自然数
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　・
　・
と非常に単純な自然数になる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
(抜粋)
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃A(Φ∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A))

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/151

189: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/07(月) 06:37:17.06 ID:2lTTrhZd

まとめます

１）正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
　”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
　底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
　ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
（>>159-160ご参照）
２）空集合から、後者関数を適用し、それに無限公理を適用して、自然数Nを構成する
　このとき、無限公理を適用しただけでは、
　我々の必要とする自然数N（全ての有限ｎたちのみを含む集合）より大きな集合が出来てしまう
　それを、自然数Nに絞り込む操作を必要とする
　つまり、無限公理により、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
　そのような元たちは、１）で述べたように、正則性公理に反しないのです
（>>110-112）
３）ツェルメロ構成では、aの後者関数；suc(a) := {a} なので
　この自然数構成で、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
　そのような元たちを絞って、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}と、自然数の集合Nができる
　そこで、全ての有限ｎたちを超える元たちの中で、最小の元が、ツェルメロ構成でのωに相当します（定義）
（>>110>>151）
４）ところで、正式な順序数ωの定義は、本来は、下記”整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法”による
　ノイマン構成では、この定義がそのまま適用できる
　ツェルメロ構成では、下記”順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できる”ので
　その方法により、ωを定義した上で、３）のツェルメロ構成でのωを再定義すれば良い
QED

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
略

順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/189

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