現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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175: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 16:07:45.71 ID:d8OQiN+r

>>102 追加
＞(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and

この”for any object a, of the singleton set {a}”
は、ZFCでは、対の公理だね
a → {a}が言える

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
対の公理
(抜粋)
性質
外延性の公理により、任意のx,yに対しその対が一意に定まる。その集合のことを{x,y}と記す。 また同じく外延性より、x=yの場合における対{x,x}は一元集合{x}に等しいので、単集合の存在も導くことができる。
他の公理との関係
対の公理はZF公理系の他の公理と独立ではない。すなわち、置換公理および「濃度が2以上の集合の存在」から、任意のx,yに対する対{x,y}の存在を導ける（濃度が2以上の集合の存在については、無限公理、あるいは空集合の公理と冪集合の公理の組み合わせから導くことができる）。 そのため対の公理は、公理系を記述する際に省略されることもある。

https://unaguna.jp/article/archives/14
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
外延的記法 (対の公理と和集合の公理)
対の公理
公理 1 (対の公理).
∀x∀y∃z∀w[w∈z←→w=x∨w=y]
すなわち、いかなるモノ (集合) x, y についても、「x と y だけが属する集合」が存在する。
まさに書いてあるとおりで、この対の公理によって上で挙げた「1と2だけが属する集合」が存在するのである。この対の公理を使うことで、2つのモノ (集合) だけが属する集合はひととおり存在が証明される。
また、1つのモノ (集合) だけが属する集合の存在も対の公理から証明できる。というのも、対の公理では x と y が同じでないことは要求してないので、たとえば「3と3だけが属する集合」である {3,3} も対の公理により存在する。
そしてこの {3,3} と「3だけが属する集合」である {3} を比較すると、3が両方の集合に属していてそれ以外のモノはいずれにも属していないので、どちらか一方にしか属していないモノは存在しない。
よって外延性の公理より {3,3} と {3} は同じ集合である。
したがって、対の公理により {3,3} の存在が示されるということは、{3} の存在が示されるということと同義である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/175

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