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現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/
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251: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 06:49:54.09 ID:aKfhohl9 >>242 メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 レーヴェンハイム?スコーレムの定理 (抜粋) レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。 そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。 正確な記述 ある構造がより小さい濃度の初等部分構造を持つとする定理の部分を下方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。 ある構造がより大きい濃度の初等拡張を持つとする定理の部分を上方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。 定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。 この事実を定理の一部とする場合もある。 例と帰結 自然数を N、実数を R とする。 この定理によれば、 (N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、 (R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。 もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。 レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。 例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/251
252: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 06:50:20.34 ID:aKfhohl9 >>251 つづき 理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。 この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもの[1]で、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。 レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。 なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないからである。 さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。 レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。 例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。 さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。 それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。 この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。 歴史 以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。 モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（satisfiability、モデルがあること）を区別しなければならない。 いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で使われていた。 「トアルフ・スコーレムは亡くなる直前まで、この定理に彼の名が冠せられていることに憤慨していたという。彼は非可算集合の存在そのものが不合理であるとし、実在しないと考えていた」 - Poizat (2000) (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/252
256: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 07:03:26.99 ID:aKfhohl9 >>252 (引用開始) 歴史 以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。 モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（satisfiability、モデルがあること）を区別しなければならない。 いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で使われていた。 (引用終り) ↓ ここ、日本語では意味が取りにくい 英語版は下記で、こちらがまだ分り易いだろう https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem Lowenheim?Skolem theorem (抜粋) Historical notes This account is based mainly on Dawson (1993). To understand the early history of model theory one must distinguish between syntactical consistency (no contradiction can be derived using the deduction rules for first-order logic) and satisfiability (there is a model). Somewhat surprisingly, even before the completeness theorem made the distinction unnecessary, the term consistent was used sometimes in one sense and sometimes in the other. (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/256
257: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 07:11:35.27 ID:aKfhohl9 >>253 『おっさんずラブ』ならぬ、おっさんずゼミか？(゜ロ゜; おれは、そんな趣味ないよｗ（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%8A%E3%81%A3%E3%81%95%E3%82%93%E3%81%9A%E3%83%A9%E3%83%96 おっさんずラブ (抜粋) 『おっさんずラブ』は、2016年からテレビ朝日系列において放送されているテレビドラマシリーズである。同年12月31日（30日深夜）に『年の瀬 変愛ドラマ第3夜』として単発放送された[1][注釈 1]後、「土曜ナイトドラマ」枠で2018年に第1シリーズ[2]、2019年に第2シリーズが放送予定である。 概要 企画 徳尾は打ち合わせの際は男女の恋愛観の差が大きく表れており、その恋愛観がまざった結果本作が出来上がったのではないかと述べている[4]。さらに、徳尾は幼少時から『ママレード・ボーイ』といった少女漫画や少年漫画に親しんでおり、本作の表現の中には少女漫画に影響を受けたところもある[4]。 その一方、意図せずに視聴者を傷つける可能性があるとして、本作ではLGBTの悩みや葛藤についての描写は避けられた[4]。執筆当初、徳尾は「この表現をいれたらまずいかな」と悩んだこともあったが、ある時「同性同士だから面白いのではなく、少女漫画的な表現におっさんが真摯に取り組んでいるから面白い」ということに気づいたと振り返っている[4]。 単発版は一つの作品として作り上げられたため、制作チームは続編を作るべきか、新しい物語を作るべきか悩んだものの、「春田とハセの恋」は単発で完結していたため、連続版の制作にあたっては、単発版では描き切れなかった登場人物の過去や成長を掘り下げるということになり、最終的に連続版は新しい物語として作られることとなった[3]。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/257
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