[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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536(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)20:49 ID:4Ujjq2jv(1/17) AAS
>>508 追加
Kuratowsk有限(1920),iは、仏文らしいね（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Finite set
(抜粋)
References
・Kuratowski, Kazimierz (1920), "Sur la notion d'ensemble fini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 129?131
省10
537(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)20:49 ID:4Ujjq2jv(2/17) AAS
つづき
（PDFからOCRして手直し引用）
Sur la notion d'ensemble fini.
Par
Casimir Kuratowski (Warszawa).
M. W.Sierpinski a donne dans son ouvrage L'axiome de M. Zermelo et son role dans la Theorie des Ensembles et l'Analyse 1) une nouvelle definition de l'ensemble fini.
Cette definition se distingue essentiellement par ce fait qu'elle ne depend ni de la notion de nombre naturel ni de la notion generale de fonction, qui entre d'habitude dans les definitions faisant usaged de la notion de correspondance.
省8
538(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)20:50 ID:4Ujjq2jv(3/17) AAS
>>537
つづき
Comme on sait, l'ensemble de tous les objets (s'il existe) jouit des proprietes paradoxales : contrairement a un theoreme connu de G. Cantor, la puissance, de cet ensemble ne serait point inferieure a celle de la classe de tous ses sous-ensembles.
Il en est de meme de la classe composee de tous les ensembles
contenant un seul element; donc, les classes K ne verifient pas, le theoreme de Cantor.
En tenant compte de ce fait, on pourrait mettre en doute l'existence meme des classes K.
En modifiant la definition de M. Sierpinski de facon a en supprimer cet inconvenient, j'obtiens la definition suivante:
省6
539: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)20:50 ID:4Ujjq2jv(4/17) AAS
>>538
つづき
Nous allors demontrer qu'un ensemble fini d'apres cette definition l'est aussi au sens ordinaire et reciproquement.
En d'autres termes: pour qu'un ensemble soit fini d'apres la definition proposee, il faut et il suffit que le nombre de ses elements puisse etre exprime par un nombre naturel (la notion de nombre naturel etant supposee connue).
En effet,soit M un ensemble dont le nombre d'elements peut etre exprime par un nombre naturel; soit Z une classe quelconque satisfaisant aux conditions 1-3.
Nous allons montrer que tout sous-ensemble de M appartient a Z.
Il en est ainsi - en vertu de la condition 2 - des sous-ensembles composes d'un seul element; en meme temps, s'il en est ainsi des sous-ensembles contenant n elements, il en est de meme - d'apres 3 - de ceux qui en contiennent n+l.
省8
540(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)20:55 ID:4Ujjq2jv(5/17) AAS
>>537 機械英訳してみた（＾＾
（Google 仏→英訳）
On the notion of finite set.
Through
Casimir Kuratowski (Warszawa).
Mr. W.Sierpinski gave in his book The axiom of Mr. Zermelo and his role in the Theory of Ensembles and Analysis 1) a new definition of the finite set.
This definition is essentially distinguished by the fact that it does not depend either on the notion of natural number or on the general notion of function, which usually enters into the definitions that make use of the notion of correspondence.
省8
541(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)20:55 ID:4Ujjq2jv(6/17) AAS
>>540
つづき
?As we know, the set of all objects (if it exists) enjoys paradoxical properties: unlike a theorem known to G. Cantor, the power of this set would not be inferior to that of the class of all its subassemblies.
It is the same of the class composed of all the sets
containing a single element; therefore, K classes do not check, Cantor's theorem.
?Taking this fact into account, one could question the very existence of classes K.
By modifying Mr. Sierpinski's definition so as to remove that drawback, I get the following definition:
省6
542(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)20:55 ID:4Ujjq2jv(7/17) AAS
>>541
つづき
?We can show that a finite set according to this definition is also in the ordinary sense and reciprocally.
In other words: for a set to be finite according to the proposed definition, it is necessary and sufficient that the number of its elements can be expressed by a natural number (the notion of natural number being assumed to be known).
?Indeed, let M be a set whose number of elements can be expressed by a natural number; let Z be any class satisfying the conditions 1-3.
We will show that every subset of M belongs to Z.
This is - under condition 2 - subsets composed of a single element; at the same time, if this is so subsets containing n elements, it is the same - according to 3 - of those which contain n + 1.
省8
543: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)21:00 ID:4Ujjq2jv(8/17) AAS
>>542 補足
?We can show that a finite set according to this definition is also in the ordinary sense and reciprocally.
↑
？は、先頭のブランクが、文字化けしているんだ
Google翻訳の仕様なのでしょうね
目で見ると、ブランクで通常と変わりないが、５CH板に貼ると化けるんだ（＾＾；
544(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)21:01 ID:4Ujjq2jv(9/17) AAS
>>540
（Google 仏→日本語訳）
有限集合の概念について。
によって
Casimir Kuratowski（ワルシャワ）。
W.Sierpinski氏は彼の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」1）有限集合の新しい定義を与えました。
この定義は、自然数の概念にも機能の一般的な概念にも依存しないという事実によって本質的に区別されます。通常は、対応の概念を利用する定義に入ります。
省8
545(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)21:01 ID:4Ujjq2jv(10/17) AAS
>>544
つづき
私たちが知っているように、すべてのオブジェクトのセット（存在する場合）は逆説的な特性を享受します。サブアセンブリ。
すべてのセットで構成されるクラスと同じです
単一の要素を含む;したがって、Kクラスはチェックしません、カントールの定理。
?この事実を考慮して、クラスKの存在そのものに疑問を投げかけることができます。
その欠点を取り除くために、シェルピンスキー氏の定義を修正することで、次の定義が得られます。
省6
546(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)21:02 ID:4Ujjq2jv(11/17) AAS
>>545
つづき
この定義に従った有限集合も通常の意味で相互に関係していることを示すことができます。
言い換えれば、提案された定義に従ってセットが有限であるためには、その要素の数を自然数で表現できることが必要かつ十分です（自然数の概念は既知であると想定されています）。
?実際、Mを要素の数を自然数で表現できるセットとします。 Zを条件1-3を満たす任意のクラスとします。
MのすべてのサブセットがZに属することを示します。
これは-条件2で-単一の要素で構成されるサブセットです。同時に、これがn個の要素を含むサブセットである場合、n + 1を含むものの3つによると同じです。
省8
547: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)21:05 ID:4Ujjq2jv(12/17) AAS
>>546 補足
条件1?3を満たす唯一のクラスではなく、Mは私たちの意味では有限ではありません。 Q。 F。 D。
↑
conditions 1-3と英文では、化けないのに
和文訳では化けるか（＾＾；
あと、やっぱり和文は訳がおかしく感じるところが多いね
英訳の方が、意味が取りやすい（＾＾
548: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)21:11 ID:4Ujjq2jv(13/17) AAS
>>540
>Mr. W.Sierpinski
参考
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヴァツワフ・シェルピニスキ
(抜粋)
ヴァツワフ・シェルピンスキ（Wac?aw Franciszek Sierpi?ski、シェルピンスキー、1882年3月14日 - 1969年10月21日）とは、ワルシャワで生没したポーランドの数学者である。彼は集合論（選択公理や連続体仮説に関する研究）や数論、関数論、位相幾何学に対する多大な貢献をしたことで知られている。
省10
549(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)21:49 ID:4Ujjq2jv(14/17) AAS
>>536
>・Kuratowski, Kazimierz (1920), "Sur la notion d'ensemble fini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 129?131
1920は、2019から見れば、ほぼ100年前
>>544 補足
＞W.Sierpinski氏は彼の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」1）有限集合の新しい定義を与えました。
Kuratowskiは、Sierpinski氏の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」の有限集合の新しい定義を改良したわけです
1920年当時、（20世紀初頭までの）数学を公理的に扱えるようにするというのが、最先端の研究だった時代
省15
550(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)21:52 ID:4Ujjq2jv(15/17) AAS
>>549 補足
無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)
のような、要素に無限集合を含むが、要素の数では有限なる集合は
哲学的には”疑似有限”とでも呼ぶ方が適切なような気がする
551(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)22:01 ID:4Ujjq2jv(16/17) AAS
>>252
＞レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
>>502
＞ペアノの公理
＞(抜粋)
＞一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
一階とそうでないものの区別がついていない者達が、無限だ有限だと喚くスレ
省3
552(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/30(土)22:34 ID:4Ujjq2jv(17/17) AAS
>>531 補足
＞ 2. S は、空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能な全属性を持つ。（カジミェシュ・クラトフスキ）
多分、公理的集合論と、素朴集合論の区別がついていない人が多いと思うが
公理的集合論で、”空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能”
Zermeloの 可算多重シングルトン{・・・{}・・・}（>>549）
これは、”空集合を始点として元を1つずつ追加していく数学的帰納法で証明可能”ではない
無限公理の適用を必要とするのだ
省2
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