現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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182: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 20:20:45.85 ID:d8OQiN+r

>>181
つづき

数学の議論では、変数 i を含む項 T と、集合 I があるとき、i∈I に対する T 全体からなる“集合”を考える、ということがしばしばあります。
　大抵の場合、i∈I のとき、T は i に無関係なある集合 A に属しているので、これを集合と見なすことは分出公理により正当化されるのですが、順序数の議論のような、集合論として“きわどい分野”での議論を行うときは、このような条件が成り立っていない場合があります。
　ところで、この場合の項 T は、集合 I の元 i に対してある対象 T を表しており、i に T を対応させる関数が与えられたとみなすことができます。
　そこで、集合 I の関数による像 { T | i∈I } となる集合が存在すると言う意味の置換公理：

[∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) )  →  y = z ) ]  →  ∀a ∃b ∀y [ y∈b  ⇔  ∃x ( x∈a  ∧  P(x, y) )]
を仮定します。
　この公理は一見わかりにくい形をしていますが、左辺の ∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) )  →  y = z ) というのは、x と y に関する関係 P(x, y) が一価関係であるということ、言い換えると、与えられた x に対して P(x, y) を満たす y を対応させる対応が x の関数になっていることを意味します。
　従って、上の置換公理の述べるところは、一価関係 P が表す関数による集合 a の像となる集合が存在する、ということを意味しています。このような集合 b は、外延性公理により唯一つであることが証明できます。

さて、この置換公理を仮定すると、変数 y を含まない任意の命題 R に対して R  ∧  x = y という命題を P(x, y) と書けば、これは明らかに一価関係です。
ゆえに、置換公理によって ∀a ∃b ∀y [ y∈b  ⇔  ∃x ( x∈a  ∧  R  ∧  x = y ) ] すなわち ∀a ∃b ∀x [ x∈b  ⇔  ( x∈a  ∧  R ) ] となって、これは分出公理に他なりません。すなわち分出公理は置換公理から導出できるのです。

(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/182

310: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 22:05:41.85 ID:0oc9Ztsl

>>309

http://mickindex.（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ミック
再帰集合とSQL 2017/06/22
(抜粋)
色々な自然数の帰納的定義
ノイマン型
0 = Φ
1 = {0} = {Φ}
2 = {0, 1} = {Φ, {Φ}}
3 = {0, 1, 2} = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}
　・
ツェルメロ型
0 = Φ
1 ={Φ}
2 ={{Φ}}
3 ={{{Φ}}}
(引用終り)

で、ちょっと多く{Φ}に関する部分だけを取り出して、書くと
0　Φ
1　{Φ}
2　{Φ, {Φ}}
3　{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}
4　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}
5　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}}
　・
　・
ここで、分出公理を使って、例えば「3」で、
　{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}ですが
一番右{Φ}}}}だけを残して、
他の「 Φ, {Φ}, {Φ, 」を取り除く
すると、{{{Φ}}}となります。
これは、つまり、これはツェルメロ型の構成なのです

つまり
2　{Φ, {Φ}}→分出公理{{Φ}}
3　{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}→分出公理{[{Φ}}]
4　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}→分出公理[[{{Φ}}]]
5　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}}→分出公理[[{{Φ}}]]
　・
　・
n　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,・・{Φ}}}}}・・}}→分出公理{{・・{{{{{Φ}}}}}・・}}

つまり、ノイマン型から、分出公理で一番右のΦのみを残し他のΦを省いた集合を作ると、それはツェルメロ型になる
これは、ノイマン型の有限、無限に関わらず可能。（ノイマン型から作る無限集合のＮやＺやＱやＲを扱えるのですから、当然ですが）
ノイマン型とツェルメロ型とは、全く無関係ではなく、ノイマン型の中にツェルメロ型を含んでいるのですよ
だから、ノイマン型の集合が存在すれば、ツェルメロ型の集合も存在もします

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/310

542: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 20:55:39.85 ID:4Ujjq2jv

>>541
つづき

?We can show that a finite set according to this definition is also in the ordinary sense and reciprocally.
In other words: for a set to be finite according to the proposed definition, it is necessary and sufficient that the number of its elements can be expressed by a natural number (the notion of natural number being assumed to be known).
?Indeed, let M be a set whose number of elements can be expressed by a natural number; let Z be any class satisfying the conditions 1-3.
We will show that every subset of M belongs to Z.
This is - under condition 2 - subsets composed of a single element; at the same time, if this is so subsets containing n elements, it is the same - according to 3 - of those which contain n + 1.
Since the number of elements of each subset of M is expressed by a natural number, it follows by induction that Z contains all the subsets of M.
Therefore, since the class Z is necessarily identical to that of all the subsets of M, it is the only class satisfying the conditions 1-3.
Thus, any set whose number of elements can be expressed by a natural number is a finite set in our sense.
?Suppose, on the other hand, that the number of elements of a set gives M does not let itself be expressed by a natural number.
Let Z be the class of all the subsets of M whose number of elements can be expressed by a natural number.
This class obviously satisfies conditions 1-3; at the same time, according to the hypothesis, M does not belong to Z and, consequently, Z is not identical to the class of all the subsets of M; therefore, the class of all subsets of M is not the only class satisfying the conditions 1-3 and M is not finite in our sense, c. q. f. d.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/542

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