[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/

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251: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 06:49:54.09 ID:aKfhohl9 >>242 メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 レーヴェンハイム?スコーレムの定理 (抜粋) レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモ

デルを持つ、という数理論理学の定理である。 そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。 正確な記述 ある構造がより小さい濃度の初等部分構造を持つとする定理の部分を下方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。 ある構造がより大きい濃度の初等拡張を持つとする定理の部分を上方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。 定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無

限のモデルを持たねばならないことをも示す。 この事実を定理の一部とする場合もある。 例と帰結 自然数を N、実数を R とする。 この定理によれば、 (N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、 (R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。 もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。 レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。 例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であ

ることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/251

252: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 06:50:20.34 ID:aKfhohl9 >>251 つづき 理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。 この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもの[1]で、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。 レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。 なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないか

らである。 さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。 レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。 例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。 さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。 それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない

。 この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。 歴史 以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。 モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（satisfiability、モデルがあること）を区別しなければならない。 いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で

使われていた。 「トアルフ・スコーレムは亡くなる直前まで、この定理に彼の名が冠せられていることに憤慨していたという。彼は非可算集合の存在そのものが不合理であるとし、実在しないと考えていた」 - Poizat (2000) (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/252

253: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/11(金) 06:53:48.16 ID:6s83KSTC >>250-252 それ、安達のスレで書けよ 奴は、可算無限はともかく、非可算無限を認めたくないみたいだから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/253

254: １３２人目の素数さん [] 2019/10/11(金) 06:59:23.02 ID:6s83KSTC {…{∅}…}（無限個の｛｝）を正当化するのに ノンスタンダードモデルを持ち出したのなら 見当違いも甚だしいな そのモデルにおいては自然数、つまり「有限」だろう？ >>235は、ツェルメロの自然数n’の延長として 極限順序数ω’を、{…{∅}…}として構成するなら どうやって定義するのか、尋ねてる 馬鹿の貴様が相変わらず、何も考えずに 「超限回の繰り返し」とか中身のない妄想を ほざいてるってわけだ　恥を知れよ(￣ー￣) http://rio2016.5ch.net/tes

t/read.cgi/math/1570237031/254

255: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/11(金) 07:03:15.94 ID:6s83KSTC 余談 BABYMETALのDa Da Dance　すげぇｗ http://babymetalmatome.com/archives/53900298.html でもBxMxCはやっぱ変態だｗ http://babymetalmatome.com/archives/53897059.html http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/255

256: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 07:03:26.99 ID:aKfhohl9 >>252 (引用開始) 歴史 以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。 モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（satisfiability、モデルがあること）を区別しなければならない。 いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で使われていた。 (引用終り) 　↓

ここ、日本語では意味が取りにくい 英語版は下記で、こちらがまだ分り易いだろう https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim%E2%80%93Skolem_theorem Lowenheim?Skolem theorem (抜粋) Historical notes This account is based mainly on Dawson (1993). To understand the early history of model theory one must distinguish between syntactical consistency (no contradiction can be derived using the deduction rules for first-order logic) and satisfiability (there is a model). Somewhat surprisingly, even before the completene

ss theorem made the distinction unnecessary, the term consistent was used sometimes in one sense and sometimes in the other. (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/256

257: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 07:11:35.27 ID:aKfhohl9 >>253 『おっさんずラブ』ならぬ、おっさんずゼミか？(゜ロ゜; おれは、そんな趣味ないよｗ（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%8A%E3%81%A3%E3%81%95%E3%82%93%E3%81%9A%E3%83%A9%E3%83%96 おっさんずラブ (抜粋) 『おっさんずラブ』は、2016年からテレビ朝日系列において放送されているテレビドラマシリーズである。同年12月31日（30日深夜）に『年の瀬 変愛ドラマ第3夜』として単発放送された[1][注釈 1]後、「土曜ナイトドラマ」枠で2018年

に第1シリーズ[2]、2019年に第2シリーズが放送予定である。 概要 企画 徳尾は打ち合わせの際は男女の恋愛観の差が大きく表れており、その恋愛観がまざった結果本作が出来上がったのではないかと述べている[4]。さらに、徳尾は幼少時から『ママレード・ボーイ』といった少女漫画や少年漫画に親しんでおり、本作の表現の中には少女漫画に影響を受けたところもある[4]。 その一方、意図せずに視聴者を傷つける可能性があるとして、本作ではLGBTの悩みや葛藤についての描写は避けられた[4]。執筆当初、徳尾は「この表現をいれたらまずいかな」と悩んだ

こともあったが、ある時「同性同士だから面白いのではなく、少女漫画的な表現におっさんが真摯に取り組んでいるから面白い」ということに気づいたと振り返っている[4]。 単発版は一つの作品として作り上げられたため、制作チームは続編を作るべきか、新しい物語を作るべきか悩んだものの、「春田とハセの恋」は単発で完結していたため、連続版の制作にあたっては、単発版では描き切れなかった登場人物の過去や成長を掘り下げるということになり、最終的に連続版は新しい物語として作られることとなった[3]。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/m

ath/1570237031/257

258: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/11(金) 07:13:17.86 ID:6s83KSTC >>256 馬鹿「俺のいう無限回の{}を重ねた{…{∅}…}は超準的な自然数なんだよ（キリッ）」 利口「ふーん、でもそれ、あくまで自然数であって超限順序数じゃないじゃん（ワロス）」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/258

259: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/11(金) 07:15:41.63 ID:6s83KSTC >>257 ＞『おっさんずラブ』 意味がわからん 一言だけいっとくと、貴様、安達は自分より下だと思ってるみたいだけど はっきりいって、貴様の数学の理解度は安達よりもはるかに下だよｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/259

260: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/11(金) 07:20:11.75 ID:6s83KSTC 安達は世間的な無限否定論者 馬鹿はオカルト的な無限肯定論者 ここでオカルト的と言ってるのは 「現代数学の無限とは全然異なる」 という意味ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/260

261: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 10:29:27.72 ID:RRsRScoq >>251 メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ 追加 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90 デデキント無限 (抜粋) ZFにおけるデデキント無限 次の4条件は、ZF上同値である。特に、これらの同値性はACを用いないで証明できることに注意せよ。 ・A はデデキント無限である。 ・全射ではないが単射であるようなA からA への関数が存在する。 ・自然数の集合N からA への単射が存在する。 ・A

は可算無限な部分集合を持つ。 どのようなデデキント無限集合A も以下の条件を満たす。 ・単射ではないが全射の、A からA への関数が存在する。 このことを、“A は双対デデキント無限である”という。A が双対デデキント無限であるならばA がデデキント無限であるということは（ACを除いたZF上で）証明可能でない。 どのような双対デデキント無限集合も次の（同値な）条件を満たす、ということがZF上で証明できる。 ・A から可算無限集合への全射が存在する。 ・A の冪集合がデデキント無限である。 （この条件を満たすことを、弱デデキント無限(we

akly Dedekind infinite)であるということがある。） 弱デデキント無限であるならば無限であることはZFにおいて証明されている。 また、整列無限集合はデデキント無限であることもZFにおいて示されている。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/261

262: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 10:29:53.11 ID:RRsRScoq >>261 つづき 選択公理との関係 整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。しかしながら、無限とデデキント無限の同値性はACよりもっと弱いものである。すなわちこの同値性を仮定してもACは導かれない。 とくに可算無限な部分集合を持たない無限集合の存在するようなZFのモデルが存在する。この

モデルでは無限だがデデキント有限である集合が存在する。以上よりそのような集合はこのモデルにおいて整列不可能である。 可算選択公理CC（ACω）を仮定すればいかなる無限集合もデデキント無限であることが証明される。しかしながら、この同値性は、実際にはCCより真に弱い。（ZFの無矛盾性の仮定のもとで）CCは成立しないが2つの無限集合の定義の同値性が成り立つZFのモデルが存在する。すなわちこの同値性を仮定してもCCは導かれない。 可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明 デデキント無限集合が無限であることはZFで容易に証明される。実

際、任意の有限集合はある有限順序数と等濃であって、有限順序数がデデキント有限であることは帰納法により証明できる。 可算選択公理を用いることによって、その逆が証明できる。つまり、無限集合はデデキント無限であることを以下のように証明できる[2]。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/262

263: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 10:31:48.30 ID:RRsRScoq >>259 一言だけいっとくと、貴様、安達は自分より下だと思ってるみたいだけど はっきりいって、貴様の数学の理解度は安達よりも上だとしても、ほんの少しだよｗ(゜ロ゜; http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/263

264: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 10:48:25.45 ID:RRsRScoq >>262 念押しな（＾＾ (引用開始) 可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明 デデキント無限集合が無限であることはZFで容易に証明される。実際、任意の有限集合はある有限順序数と等濃であって、有限順序数がデデキント有限であることは帰納法により証明できる。 可算選択公理を用いることによって、その逆が証明できる。つまり、無限集合はデデキント無限である (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/264

265: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/11(金) 11:02:38.27 ID:YULRpgNc >>264 からの何が言いたいん？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/265

266: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/11(金) 16:13:44.59 ID:YULRpgNc そもそも X={…{∅}…} なんて集合を考えたら F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn} とおくときF(X)には単元集合(singleton)しか許してもらえないんでは？ 表記的に？ どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/266

267: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/11(金) 19:05:02.65 ID:6s83KSTC >>262　>>264 やれやれ、馬鹿は全然理解してないくせに 二言目には選択公理と絶叫する悪癖があるなｗ だいたい、聞かれてるのはωにあたる ツェルメロ構成の集合をどうやって 定義するかだろ 何の考えもなく 「超限回のくり返し！！！」 とかわめき続けてるのは 正真正銘の馬鹿の証拠ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/267

268: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/11(金) 19:08:16.67 ID:6s83KSTC 馬鹿は 0’={} 1’={{}} 2’={{{}}} … だから ω’も{…{}…}に違いない と思い込む点で底抜けにアタマが悪いｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/268

269: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 06:41:17.58 ID:0oc9Ztsl >>112 補足 ∈の無限降下列と従属選択公理の話（下記） ゼルプスト殿下 @tenapyonは、藤田博司先生愛媛大 https://togetter.com/search?q=%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86&t=q 「従属選択公理」の検索結果 Togetter https://togetter.com/li/760984 2014年12月23日 Togetter 【基礎の公理】∈の無限降下列を作るには従属選択公理ではなく可算選択公理があればよいか? (抜粋) はかり @mg_toHKR 正則公理と無限降下列の非存在が

同値であることを示すのに使ったのは従属選択公理だけど、無限降下列作るなら別に可算無限でいいわけだし可算選択公理でも良いのでは MarriageTheorem @MarriageTheorem twitter.com/mg_toHKR/statu… これ、何となく違いそうな気がするけど実際どうなのでしたっけ ゼルプスト殿下 @tenapyon @MarriageTheorem 「可算回の選択だから可算選択公理で十分では？」という考えの問題点を指摘するのは簡単ですが、反例があるかというと、それは基礎の公理が破れているのに∈-無限下降列が存在せずそのうえ可算選択公理が成立するモデルなので、容易には用

意できませんね ゼルプスト殿下 @tenapyon フレンケル・モストフスキ・モデルの方法で基礎の公理の二つのバージョンが同値でないことは示せる気がするので、あとはそのモデルで可算選択公理とが成立しているかどうかですかね。 USB^800 @usb_usb アイディア：ZF＋可算選択公理＋¬DCのモデルからスタート。<X,R>を¬DCのウィットネスとする。このXは外延的（xとyのpredessor全体が一致したらｘ＝ｙ）と思ってOK. USB^800 @usb_usb permutationモデルでもOKだと思うけど、もっと簡単そうな旧版クーネン4章演習１８を使う。VからVへの写像FをX

の要素ｘとそのpredessor全体をスワップ、ほかは動かさないようなものとして、aEb ⇔a ∈F(b)で定義する。 USB^800 @usb_usb 一般論として、＜V,E>はZF^-のモデルになる。後は本物の可算選択公理から<V,E>も可算選択公理をみたし、ついでにEの無限降下列は存在しないことがチェックできる、はず。 USB^800 @usb_usb あ、あともちろん<V,E>では正則性はなりっていないこともチェックできる。 つづく https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/269

270: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 06:42:21.35 ID:0oc9Ztsl >>269 つづき USB^800 @usb_usb （もうちょっと発展させれば、修士論文あたりのネタにはできそう…） ゼルプスト殿下 @tenapyon @usb_usb @MarriageTheorem あっ、もう詳細が書いてありましたね。俺の考えた筋は少し違ってて、木[0,1]^{<ω}を下向きの半順序だと思ってこれと同型な推移的集合Tが存在する集合論でWF(T)を作りTの節の後続者を入れ換える置換の群で置換モデルを作るの。 USB^800 @usb_usb @tenapyon @MarriageTheorem　ZF＋可算選択公

理＋¬DCのモデル作るのに使うといえば使います。このモデルが得られちゃえば、あとはそこから非整礎モデルをつくる普通の方法で。 はかり @mg_toHKR @tenapyon はじめまして。可算選択公理の話、もうただすごいなぁと思って見ていたのですが可算選択公理は選択公理を可算無限に制限したものではないのですか？ いきなり質問しちゃってすみませんがよろしければ・・・ ゼルプスト殿下 @tenapyon @mg_toHKR こんにちは 可算選択公理は可算個の集合が先に与えられているときに「こいつらから1個ずつ要素を取ってこい」って言われたらできますよ、って

いうことですね。これに対して従属選択公理は、1人を倒してもそれより強い奴が無数にいる少年ジャンプの作品世界みたいな所で（続き ゼルプスト殿下 @tenapyon @mg_toHKR 1人目はこいつ、2人目にそれより強いこいつ、3人目にさらにそれより強いこいつ、…、という無限列が取れますよということで、選択は確かに可算回ですが、選択されるものの範囲がそれまでに選択してきたものに依存しながら変わっていくところが違います。 ゼルプスト殿下 @tenapyon @mg_toHKR この違いが意外に大きいんです。∈無限下降列は、何か集合が決まらないと、その次に取

る要素の範囲も決まらないから、従属選択が必要になってくるのです。 って説明でよろしいでしょうか？ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/270

271: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 06:42:42.57 ID:0oc9Ztsl >>270 つづき はかり @mg_toHKR @tenapyon わかりやすい説明ありがとうございます！ 可算選択公理は最初から可算無限個の集合がないと使えないんですね・・・ 本当にありがとうございます、勉強になりました。 ゼルプスト殿下 @tenapyon @mg_toHKR どういたしまして(^^) 集合論のこのあたりに詳しい人は日本ではまだまだ層が薄いので、興味を持ってくれる人がいると本当に嬉しいです。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/15702

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272: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 07:50:14.04 ID:0oc9Ztsl >>266 ども、レスありがとう >どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。 同意です 補足説明します 普通の自然数N+ω：1,2,3,・・n,・・,ω に対して（ωは極限順序数で>>164ご参照） (>>210より) ノイマン構成：1n,2n,3n,・・nn,・・,ωn 後者関数n；suc(a)n := a∪{a} ツェルメロ構成：1e,2e,3e,・・ne,・・,ωe 後者関数e；suc(a)e := {a} ここで、ノイマン構成同様に、ツェルメロ前者集合の和を取る Σen

＝{Φ,1e,2e,3e,・・n-1e}((簡便に表現した) なお、集合の濃度はn) 縦に並べると 1,1n,1e,Σe1 2,2n,2e,Σe2 3,3n,3e,Σe3 　・ 　・ n,nn,ne,Σen 　・ 　・ ω,ωn,ωe,Σeω ＜まとめ＞ ・ωnは、ノイマンの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nたちの和で、自然数N相当（区別のためにNnとでも） ・ωeは、ツェルメロの極限順序数ω相当で、有限の前者関数nの極限の単元集合(singleton)（順序型） ・Σeωが、ツェルメロの自然数N相当で、有限の前者関数eの和の極限の集合（濃度） ・なので、ノイマン構成では、順序型と濃度を一つの後者関数nで

表現できている 　対して、ツェルメロ構成での後者関数eでは、表現できるのは順序型のみ 　濃度の議論には別の集合、例えば前者関数eの集合和Σenみたいなのが必要（これがツェルメロ構成の欠点） 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/272

273: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 08:02:50.36 ID:0oc9Ztsl >>272 補足 縦に並べると 1,1n,1e,Σe1 2,2n,2e,Σe2 　・ 　・ 　・ ω,ωn,ωe,Σeω で 自然数N+ω、ノイマン自然数Nn+ωn、ツェルメロ自然数Ne+ωe、ツェルメロの前者の和集合Σen+Σeω この４者の間に全単射が存在します この一言を付け加えておきます （蛇足みたいだが、もし試験答案で時間があるならなら一言書くべき。”分かっているよ”というアピールのために（答案が戻って来ない試験がある。減点されても、文句をいう機会がない場合がある

）） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/273

274: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 08:07:46.82 ID:0oc9Ztsl >>272 追加 ここらは、全部下記の”Stanford Encyclopedia of Philosophy”に、類似のことが書かれていると思うよ （>>224より） https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Stanford Encyclopedia of Philosophy Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett First published Tue Jul 2, 2013 (抜粋) 3. The Major Problems with Zermelo's System 3.1 Separation 3.2 Completeness 3.2.1 Representing Ordinary Mathem

atics 3.2.2 Ordinality 3.2.3 Cardinality 3.2.4 Ordinals http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/274

275: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 08:10:24.44 ID:Ty9mG3gK >>272 では {n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1} には最大値が存在してしまうのでは？ ∵) 最大値がないとする。 任意にmをとるとき長さmの列 xmn‥∈ xm3∈ xm2∈xm1, Ω=xm1 が存在するが 全てのm,l≧1でΩ=xm1=xl1なのでこれをx1とおく。 全てのm≧2でxm2∈x1、x1はsingletonなのでxm2は共通。これをx2とおく。 全てのm≧3でxm3∈x2、x1はsingletonなのでxm3は共通。これをx3とおく。 ‥‥ この時‥‥x3∈x2∈x1は無限降鎖列により正則性公理に矛盾。□ 正則性

公理は外せないけどもう少しうまくやればACも外せるし。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/275

276: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 09:18:29.19 ID:0oc9Ztsl >>275 どうも。レスありがとう >{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1} >には最大値が存在してしまうのでは？ 別に言い訳するつもりはないけど 　>>272で同意したのは、 ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです で、あなたの {n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1} に対して >>266では F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn} だったでしょ つまり、順序が逆 例えば 1,2,3,・・・,n は上昇

列だが -n,・・・,-3,-2,-1 降下列です 公理的集合論から、自然数N（0,1,2,3,・・・,n,・・）が得られた後に 整数Zを構成して、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列の構成（無限降下列も可）は、ありでしょう いま、問題にしていることは、公理的集合論で 空集合Φから、後者関数のみを使って、作った集合で∈順序がどうなるか（無限降下列が存在するかどうか）？ それは、後者関数の作り方にもよるけど、選択公理（あるいは可算選択公理）にも関連しているらしい（>>269）（＾＾ （もちろん、正則性公理も重要） そして、たとえ有限を扱って

いても、青天井（いくらでも大きな）なら、 「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」 （レーヴェンハイ-スコーレムの定理）みたいなことになる（>>251） で、まとまらないけど、 要するに、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列は、今論じている∈順序とは別と思う（おそらく一般的な順序型の議論になる） これ以上の細かい議論は、>>266 ID:YULRpgNc さんとよろしく （もしあなたと同一人物ならご容赦） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%8

3%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 レーヴェンハイ-スコーレムの定理 (抜粋) 定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。 この事実を定理の一部とする場合もある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/276

277: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 09:26:43.89 ID:0oc9Ztsl >>276 タイポ訂正 レーヴェンハイ-スコーレムの定理 　↓ レーヴェンハイム-スコーレムの定理 （二箇所） な（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/277

278: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 09:26:58.57 ID:9mz947Hb >>276 >>275の証明中にでてくる集合にはF(Ω)しかでませんよ？ 向き関係ありません。 まだ無限列は出てきてないし。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/278

279: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 09:30:11.84 ID:9mz947Hb 集合の元ね。 F(Ω)の元しかありません。 もし>>275の証明に納得がいかないなら証明中の ××はsingletonであるから という下りのところがおかしいという説ですが、ここにF(Ω)の元しか出てこないのはわかりますか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/279

280: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 09:37:23.07 ID:0oc9Ztsl >>272-273 補足 ツェルメロ構成での前者関数eの集合和Σen は、 >>276との関連で言えば 包含関係での⊂順序にはなるが、 帰属関係の∈順序にはならない それは、公理という視点では、問題でしょうね （∵ ∈だけで話を済ますのが綺麗。⊂は、定義されていないのだから） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/280

281: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 09:45:09.55 ID:0oc9Ztsl >>278-279 ？ （>>272より） ツェルメロ構成： 後者関数e；suc(a)e := {a} （aのシングルトン {a} ） これで a∈ {a} つまり、前者集合e ∈ 後者集合e ですよ。逆転はない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/281

282: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 10:00:47.57 ID:9mz947Hb いや、>>275の証明について行ってるんですよ。 では順に行きましょう。 xm1がΩなので共通なのはいいでしょ？ 次にxm2(m≧2)について全てのmについて xm2∈x1=Ω、かつΩがsingletonなのでxm2は共通。 すなわち x22=x32=x42=‥‥ なのは認めますか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/282

283: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 10:06:43.68 ID:0oc9Ztsl >>269 ＜補足参考＞ 従属選択公理(axiom of dependent choice)は、ADCか http://alg-d.com/math/ac/dc.html 従属選択公理について 壱大整域 2013年10月25日 (抜粋) 定義 次の命題を従属選択公理(axiom of dependent choice)という． 非空集合 X 上の二項関係 R⊂X×X が「任意の x∈X に対してある y∈X が存在して xRy」を満たすとき，Xのある点列 { xn }n∈ωが存在して任意の n に対して xnRxn+1 となる． 命題1 選択公理 ⇒ 従属選択公理 命題2 従属

選択公理 ⇒ 可算選択公理 定理 選択公理 ⇔ 任意の順序数αに対してDC(α)が成り立つ． 選択公理は、AC https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう） (抜粋) なお、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる[2]。 従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。 可算選択公理は、ACCやACω https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8

%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 可算選択公理（英: Axiom of countable choice）ACωとも表記される 連続体仮説は、CH https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC 連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH） 決定性公理は、ADか https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 決定性公理 （けっていせいこうり、英: axiom of determinacy） https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy Axiom of determinacy http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/m

ath/1570237031/283

284: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 10:07:50.87 ID:0oc9Ztsl >>282 どうぞ、>>275の方とお願い致します。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/284

285: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 10:12:11.17 ID:fCB4Xy97 >>284 あれ？認められないの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/285

286: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 10:13:43.04 ID:fCB4Xy97 なぜ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/286

287: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 10:30:09.64 ID:zrApsl4A >>275みたいに全部数式だと無理なのかな？ 長さに上限がないとすると各自然数に対して Ω=x11 Ω=x21∋x22 Ω=x32∋x32∋x33 Ω=x41∋x42∋x43∋x44 ‥‥ が取れる。 どの列も長さ有限。昇順も降順もない。 するとここに出てくるxijは>>266を認めると全部singletonになるので縦に並んでる元が全部同一になってしまう。 するとxiiを並べてできる列が x11∋x22∋x33∋‥‥ を満たしてしまうんだけど？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/28

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288: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 11:56:57.56 ID:0oc9Ztsl >>287 申し訳ないが、意味が取れない １）下記、Zermelo (1908b) ”(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member” ２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える ３）で、Zermelo (1908b)では正則性公理は、無かった（∵1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された） ４）しかし、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成 に、正則性公理

からの規制（有限回に限られる？）があると、そういう話はないでしょ？ 　じゃ、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成が、これの超限回繰返しが可能なわけですよね （>>224より） https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Stanford Encyclopedia of Philosophy Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett First published Tue Jul 2, 2013 (抜粋) 1. The Axioms Given this, the one fundamental relation is that of set membership, ‘ε’ , which allows one to state that an obj

ect a belongs to, or is in, a set b, written ‘a ε b’.[4] Zermelo then laid down seven axioms which give a partial description of what is to be found in B. These can be described as follows: I.Extensionality This says roughly that sets are determined by the elements they contain. II.Axiom of Elementary Sets This asserts (a) the existence of a set which contains no members (denoted ‘0’ by Zermelo, now commonly denoted by ‘?’); (b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as

its sole member; and (c) the existence, for any two objects a, b, of the unordered pair {a, b}, which has just a, b as its members. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/288

289: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 12:08:13.78 ID:Ty9mG3gK >>288 どの行がわからないですか？ 仮定は降鎖列の長さに最大値が無いですね。 では長さ1の列があるからそれを Ω=x11 とおくのはいいですよね？ 次に長さ2の列もあるから Ω=x21∋x22 もありますよね？ 以下 Ω=x32∋x32∋x33 Ω=x41∋x42∋x43∋x44 といくらでも長いのがあるのでACであらかじめ取れますよね？(ほんとはACいらないけど、それは多分納得してもらえそうに無いので諦めます) ここまでは理解できますか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1

570237031/289

290: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 13:52:28.42 ID:0oc9Ztsl >>289 （>>287において） １）定義が無い。　x11とは？　これは何ですか？ ２）Ω=x11、Ω=x21∋x22？　これは何ですか？ 　 「Ω=x11」と「Ω=x21∋x22」とで、二つのΩは別ものですよね、明らかに。これ、記号の濫用ですか？ ３）x11∋x22∋x33∋‥‥？　これは何ですか？ 例えば、「x11∋x22」の証明は？ 略証でもいいけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/290

291: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 13:59:45.75 ID:0oc9Ztsl >>288 > ２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える 補足 繰返すが、どんな集合であれ、対の公理で「a → {a}」が言えるのです これは、公理だから、無制限に成立します（有限に限らない） aが、たとえ無限集合でも、まとめて、the singleton set {a} にできる 回数は、無制限です １）例えば、aが実数の集合Rで非可算無限集合としても、{R}はシングルトンです ２）そこで分り易く、素朴集合論で、おもりに例えてみよう

（分かり易さは人によるけど（＾＾　） 　おもりの列：1g,2g,3g,・・ng・・ 　これ、全部1元集合の列で、シングルトンの列。集合の濃度は１です 　しかし、おもりは重さという指標をもっている 　そして、順序列を成す 　1g<2g<g3<・・<ng<・・ （可算自然数N内とします） 　です ３）そして、重さという指標の順序列で、極限で極限順序数ωが可能 ４）それには、>>287みたく二次元の指標 (x,y)を使えば良い（下記 直積集合上の順序「辞書式順序」 ご参照） 　(0,1g)<(0,2g)<(0,3g)<・・<(0,ng)<・・<(1,1g)&l

t;(1,2g)<(1,3g)<・・<(1,ng)<・・ 　とすれば良い 　この場合、(0,ng)<・・の後の、最初の(1,1g)がωに相当します。順序型という意味の対応でね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 順序集合 直積集合上の順序 ・辞書式順序: (a,b) <= (c,d) ⇔ a<c ∨ (a=c ∧ b<=d) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/291

292: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 14:00:58.59 ID:0oc9Ztsl >>291 つづき （追加参考） http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/ Prof. Dr. YUJI YOSHINO Department of Mathematics Faculty of Science Okayama University http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/oldlectures.html Teaching (in Japanese) Old Lectures http://www.math.okayama-u.ac.jp/~yoshino/pdffiles/syuugouron.pdf ２００３年度「代数基礎」講義(２回生用）YUJI YOSHINO 岡山大 集合の記号になれる (抜粋) P11 3.2 順序数 ? 各整列

集合の同型類にひとつずつ「名前」をつける。与えられた整列集合が属する同型類の名前をその整列集合の順序数という。 ? 有限整列集合 {1, 2, . . . , n} の順序数を n と書く。（心は nth の意味。） ? 整列集合 N の順序数を通常 ω で表す。 ? 辞書式順序の定義。 ? S と T が整列集合のとき，辞書式順序で S × T もまた整列集合である。 ? 順序集合の合併。 ? S と T が整列集合のとき，その合併 S + T もまた整列集合である。 ? S と T が整列集合で，それぞれの順序数が α, β のとき，その和 α + β を S + T の順序数，その積 　α ・ β

を S × T の順序数として定義する。 例題 3.2.1 n ∈ N について，n + ω = ω である。一方， ω + n 6= ω である。理由を考えよ。 例題 3.2.2 n ∈ N について，n ・ ω 6= ω ・ n である。実際，ω ・ 2 = ω + ω, 2 ・ ω = ω である。 定理 3.2.3 (整列集合の比較定理) 二つの整列集合 S と T があるとき，つぎのどれかひとつだけが必ず 成立する。 (1) S と T は順序同型である。 (2) a ∈ S が存在して，S < a > と T は順序同型である。 (3) b ∈ T が存在して，S と T < b > は順序同型である。 ? S と T の順序数がそれ

ぞれ α, β であるとする。(1) 〜 (3) の状況のとき，それぞれ α = β, α > β, α < β と定義する。 系 3.2.4 (順序数の比較可能定理) α, β が順序数のとき，α = β, α > β, α < β のどれかひとつだけが必 ず成立する。 例題 3.2.5 1 < 2 < ・ ・ ・ < ω < ω + 1 < ・ ・ ・ < ω ・ 2 < ω ・ 2 + 1 < ・ ・ ・ < ω ・ 3 < ・ ・ ・ < ω ・ ω < ・ ・ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/292

293: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 14:01:37.70 ID:Ty9mG3gK ではもう少し詳しく書きます。 仮定は Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm なる形の列の長さに上限がないですね。 この仮定の元に自然数mに対して X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]} がいずれも空集合にならない事は理解できますか？ 条件を満たすいくらでも長いものがある ⇒条件を満たす任意の長さのものがある です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/293

294: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 14:30:59.97 ID:0oc9Ztsl >>292 > 有限整列集合 {1, 2, . . . , n} の順序数を n と書く。（心は nth の意味。） そうそう、日本語では、基数詞（簡単には個数を数える）と序数詞（順番）との区別が、助数詞（個・番など）でなされる 前者は１個２個で、後者は１番２番など 数学においては、”nth”は略して書かないので、日本語記法に近い が、ノイマンとかツェルメロとか、彼らの思考は基数詞（Cardinal）と序数詞(Ordinal)とが峻別されているのです、きっと（＾＾ だから、か

れらの文書を読むとき、「Cardinalの話なのか、Ordinalの話なのか」を、日本人はしっかり意識しておかないと 迷走してしまいがちです そして、いまの議論は、全部シングルトンだからCardinalは1だが しかし、順序型(Ordinal)としてはωに相当する列のシングルトンの集合が存在しうるよということ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E8%A9%9E 数詞（すうし）とは、数を表す語である。言語及び数詞の種類により、名詞、形容詞、限定詞などの下位の品詞に分類されるが、その性質は独特である。 (抜粋) 基数詞 基数詞（きすうし）とは、

基数、すなわち分けて数えられるものの個数を表す数詞である。日本語の「いち」、「に」、「さん」は基数詞である。 序数詞 序数詞（じょすうし）あるいは順序数詞（じゅんじょすうし）とは、順序数、すなわち分けて数えられるものの順番を表す数詞である。 通常は基数詞から規則的に求められるが、小さい整数では不規則変化や補充形が見られる。例えば英語の序数詞は、first , second は補充形、third は不規則、fourth からは規則的（但し、21以降は一の位の数に従う）であり、フランス語では premier は補充形、deuxieme からは規則的である。

日本語では単独で序数詞を表すものはないが、「第-」を漢数詞（助数詞が付く場合は、算用数字で表すこともある）の前に付けるか、「-目」「-位」を助数詞の後に付けて表現される。 ・第二、第二回 ・二番目、二回目 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A9%E6%95%B0%E8%A9%9E 助数詞 (抜粋) 日本語の助数詞はバラエティに富んでおり、「個」、「匹」（動物）、「本」（細長いもの）、「枚」（平たいもの、厚みのないもの）など高頻度で多くの語に用いられる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/294

295: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 15:04:06.24 ID:0oc9Ztsl >>293 (引用開始) 仮定は Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm なる形の列の長さに上限がないですね。 (引用終り) その記法は、混乱の元と思います もし、有限長さｍならば Ω=xm∋xm-1∋‥‥∋x2∋x1 と番号を付け直すべきですよ そうしないと、大変混乱するでしょうね 正則性公理は、「空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること」ですからね 極小となる元を、１番にすべきですね （参考） http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/ 坪井明人 http

://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/ 学群関係 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf 数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大 1.1.10 基礎の公理（正則性公理） x ≠ Φ → ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y)). 空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること， を直観的には意味している． https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理 (抜粋) 以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。 ・任意の空でない集合xに対し

て、∃y∈x,x∩y=0 ・∀xについて、∈がx上well-founded ・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/295

296: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 15:05:46.80 ID:Ty9mG3gK >>295 好きに番号はつけて下さい。 >>293の各X[m]がいずれも空集合にならない事は理解できますか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/296

297: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 15:26:20.58 ID:0oc9Ztsl >>294 再度まとめておきます 現代数学の無限の議論で、 １．整列可能定理と関連して、デデキント無限とかの関連で（>>236-238）どこまでの強さの選択公理を採用するか（>>283）の問題がある 　　可算選択公理＜従属選択公理＜選択公理＜連続体仮説 　　ですね。決定性公理は、別の系統なのでしょうね ２．レーヴェンハイム-スコーレムの定理に関連して（>>251-252） 　　一階述語論理に限定するのか？　それとも、二階以上の高階述語論

理を採用するのか？ 　　ゲーデル先生ご存命の20世紀前半は一階述語論理全盛で、「二階以上はパラドックスのおそれあり」で忌避されていた傾向あり 　　ところが、いろいろあって、圏論などもその1つと思うが、「二階以上もやろう」という流れができた ３．あと、逆数学なんて流れもあるようです（「現代数学の全部を網羅する公理系ではなく、分野毎に特化した公理系」なのでしょうかね？） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6 逆数学 (抜粋) 逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログ

ラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。 「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。 逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理

論からの多くの技術も利用できる。 実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析の結果を反映している。 逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/297

298: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 15:38:42.46 ID:0oc9Ztsl >>296 >好きに番号はつけて下さい。 はい では、>>295の正則性公理の表記に合わせて、 ∋関係の順序列の最小要素から順に、0または1を、 そして可付番なら、その後は自然数の順で番号付けをすることを 要求します >>>293の各X[m]がいずれも空集合にならない事は理解できますか？ 各X[m]の定義を、上記要求に合わせ X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]} 　↓ X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i+1]∋x[i]} と書き直して良いです

よね？ 正則性公理を前提として、m>=2でX[m]は空集合ではないですね m=1で、x1＝Φとしても、X[1]は、空集合にはならないですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/298

299: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 15:51:09.44 ID:0oc9Ztsl >>227 >・順序対 (x,y)と集合 {{x},{x,y}}との同一性。 追加 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%AF%BE 順序対 (抜粋) 目次 1 一般論 2 直観的な定義 3 集合論による順序対の定義 3.1 ウィーナーの定義 3.2 ハウスドルフの定義 3.3 クラトフスキーの定義 3.4 クワイン?ロッサーの定義 3.5 カントール?フレーゲの定義 3.6 モースの定義 4 圏論 一般論 数学の広範な分野において記号 (a, b) はざまざまな意味で用いられ、そうしたもの

の中で顕著な例はたとえば実数直線上の開区間を挙げることができるだろう。記号の意味は文脈に完全に依存しており、意味を取るためには文脈に注意しなければならない 直観的な定義 門書の類いにおいては、順序対の定義としてやや不正確だが直観的に 二つの対象 a, b に対し、順序対 (a, b) とは、対象 a, b をこの順番で指定する記法である[3] というような形で与えるものがある。 このような「定義」は、記述的に与えられたにすぎず、また並べる「順番」というのも直観的に与えられたものでしかないから、厳密な意味での定義と呼ぶには不十分である

。 もっともよく用いられるのがカシミール・クラトフスキーによるもの（後述）であり、その定義は1970年に出版されたブルバキ『集合論』の第二版で用いられた。順序対を直観的に導入する教科書でも、クラトフスキーによる厳密な定義に演習問題の中で言及するといったものも少なくない。 集合論による順序対の定義 クラトフスキーの定義 Kuratowski (1921) は今日的に広く受け入れられている順序対 (a, b) の定義[5][注 4] (a,b)_K:={{a},{a,b}}} を提唱した。注目すべきは、これが第一成分と第二成分が等しいときにも p=(x,x)={{x},{x,x}}={{x},{x}

}={{x}} として有効な定義になっていることである。 圏論 集合の圏における圏論的な直積 A × B は、第一成分が A に属し、第二成分が B に属する順序対全体の成す集合を表現する。この文脈では上で述べた順序対の特徴づけは、直積の普遍性と集合 X の元が（ある一元集合）1 から X への射と同一視されるという事実とからの帰結である。別の対象が同じ普遍性を持つかもしれないが、それらはすべて自然同型である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/299

300: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 16:38:53.96 ID:Vy+smElV >>298 > X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]} > 　↓ > X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i+1]∋x[i]} > と書き直して良いですよね？ それはダメです。 上の命題は例えばm=3のとき Ω=x1∋x2∋x3 を満たすx1, x2, x3が存在する事を主張してますが、 あなたが書き換えた命題は Ω=x1∈x2∈x3 を満たすx1, x2, x3が存在する事を主張しています。 この二つは直ちに同値とは言えません。 番号の付け替えとは Ω=x3∋x2∋x1 と付け替えるのは

許されるという意味です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/300

301: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 17:05:59.42 ID:0oc9Ztsl >>300 ちょっと意味がとれない １）>>295より（坪井明人 筑波大）”正則性公理は、「空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること」です”は、いいですか？ ２）「Ω=x1∋x2∋x3」に対し、 　上記の”数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大”の「大小」の意味（”極小となる”などの表現）で 　大小記号”＞”を流用して表現しますと 　”x1＞x2＞x3”と、通常の自然数の大小関係が逆転した表現になるということの理解は、良いですか

？ ３）確かに、別に表記は何でも言いとは言える。例えば 　Ω = x1(=xｧ) ∋ x2(=xｨ) ∋ x3(=xｩ) 　と、半角の小カナ ｧ、ｨ、ｩ でも何でも、名付けを変換しても同じです。数学の本質は不変です ４）ですが、自然数”1、2、3・・”の通常の大小関係を逆転し、錯覚させる表記は、”百害あって一利無し”と思いますよ！（というか、自分が何か錯覚していませんか？） 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/301

302: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 17:14:50.99 ID:Vy+smElV >>301 当面正則性の公理なんて関係ありません。 主張しようとしてるのは >>275の主張 {n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1} には最大値が存在する。 です。 そこで背理法を使ってるんですよ。 焦らず一歩づついきましょう。 もしこの結論を否定するとそれから X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]} が全てのmについて空集合とならない事が導かれるという主張なんです。 ここまででどこが納得いきませんか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/m

ath/1570237031/302

303: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 17:25:03.10 ID:Vy+smElV もしかして>>275の主張がわかってないのかな？ もう少し丁寧に書けば --- claim --- S={ n | ∃(x1,x2,‥,xn), Ω=x1, x[i]∋x[i+1]} には最大値が存在する。 --- です。 今これを背理法を用いて証明するためにSが最大値を持たないと仮定しています。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/303

304: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 17:49:56.43 ID:0oc9Ztsl >>302 (引用開始) {n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1} には最大値が存在する。 (引用終り) えーと、順序集合で、「半順序・全順序」意識していますか？ それ、∈関係で、全順序なのでしょ？ で、有限長さの全順序の列が存在する 最大値＝最大の集合という意味なんのでしょうが それ、ほとんど自明でしょ？ で、番号付けを通常と逆転させて、なにか錯覚しているだけと思いますけど 全順序の有限長さの列で、最大元と最小元とが存在することは、認めますよ

殆ど自明だから、証明は不要で、認めますよ それより、番号付けを正常にしましょうよ そういう、倒錯した番号付けはなしですよ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 順序集合 (抜粋) 定義 全順序集合、半順序集合、およびこれらよりさらに弱い概念である前順序集合の定義を述べる為にまず以下の性質を考える。ここで P は集合であり、「<=」を P 上で定義された二項関係とする。 「<=」が全順序律を満たさない場合、「a <= b」でも「b <= a」でもないケースがある。このようなケースにあると

き a と b は比較不能 (incomparable) であるという。 前順序・半順序・全順序 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/304

305: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 17:52:05.22 ID:0oc9Ztsl >>302 >X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]} >が全てのmについて空集合とならない事が導かれるという主張なんです。 その、(x1,x2,‥,xm) って表記が公理的じゃないのだが 空集合でないことも、殆ど自明でしょ？？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/305

306: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 17:56:43.26 ID:Vy+smElV >>304 >えーと、順序集合で、「半順序・全順序」意識していますか？ >それ、∈関係で、全順序なのでしょ？ いいえ？そんな事どこにも書いてないでしょ？ 主張は --- claim --- S={ n | ∃(x1,x2,‥,xn), Ω=x1, x[i]∋x[i+1]} には最大値が存在する。 --- です。 全順序もなにも仮定していないし、そんな事証明する気もありません。 主張してるのは上のSに最大値があるという事だけです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/306

307: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 17:58:46.39 ID:Vy+smElV え？ 全順序ってS⊂NでNは全順序集合って意味ですか？ もちろんNが整列順序集合である事は仮定してますよ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/307

308: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 18:13:02.90 ID:Vy+smElV もしかしてxnのnが動いてるところのNとxnが動いてるF(Ω)を混同してるのかな？ Nは通常のωを想定して書いてます。 ホントは自然数と対応付くものならなんでもいいんですが混乱するのでN=ωにします。 それともう議論が発散するだけなので数列の順は降鎖でいきます。 もうそこで議論が発散するのは避けましょう。 とりあえず --- claim(※) --- S={ n | ∃(x1,x2,‥,xn), Ω=x1, x[i]∋x[i+1]} には最大値が存在する。 --- このclaimにも名前をつけて(※)とします。 こ

れを示すために(※)を否定して --- Hypothesis (h) --- S={ n | ∃(x1,x2,‥,xn), Ω=x1, x[i]∋x[i+1]} には最大値が存在しない。 ---- としましょう。 すると X[m]:={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}‥‥(1) とおくとき --- ness. cond. (nc1) --- 全てのm∈Nに対してX(m)は空集合でない。 --- が導かれる。 ここまではいいでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/308

309: １３２人目の素数さん [] 2019/10/12(土) 18:14:44.09 ID:l44Ha7GI {{…}} は正則性公理に反するのでZF内には存在できません http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/309

310: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 22:05:41.85 ID:0oc9Ztsl >>309 http://mickindex.（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ） ミック 再帰集合とSQL 2017/06/22 (抜粋) 色々な自然数の帰納的定義 ノイマン型 0 = Φ 1 = {0} = {Φ} 2 = {0, 1} = {Φ, {Φ}} 3 = {0, 1, 2} = {Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}} 　・ ツェルメロ型 0 = Φ 1 ={Φ} 2 ={{Φ}} 3 ={{{Φ}}} (引用終り) で、ちょっと多く{Φ}に関する部分だけを取り出して、書くと 0　Φ 1　{Φ} 2　{Φ, {Φ}} 3　{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}} 4　{Φ,{Φ},{Φ,{

Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}} 5　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}} 　・ 　・ ここで、分出公理を使って、例えば「3」で、 　{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}ですが 一番右{Φ}}}}だけを残して、 他の「 Φ, {Φ}, {Φ, 」を取り除く すると、{{{Φ}}}となります。 これは、つまり、これはツェルメロ型の構成なのです つまり 2　{Φ, {Φ}}→分出公理{{Φ}} 3　{Φ, {Φ}, {Φ, {Φ}}}→分出公理{[{Φ}}] 4　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}→分出公理[[{{Φ}}]] 5　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ

,{Φ}}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}}→分出公理[[{{Φ}}]] 　・ 　・ n　{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,・・{Φ}}}}}・・}}→分出公理{{・・{{{{{Φ}}}}}・・}} つまり、ノイマン型から、分出公理で一番右のΦのみを残し他のΦを省いた集合を作ると、それはツェルメロ型になる これは、ノイマン型の有限、無限に関わらず可能。（ノイマン型から作る無限集合のＮやＺやＱやＲを扱えるのですから、当然ですが） ノイマン型とツェルメロ型とは、全く無関係ではなく、ノイマン型の中にツェルメ

ロ型を含んでいるのですよ だから、ノイマン型の集合が存在すれば、ツェルメロ型の集合も存在もします http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/310

311: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 22:08:33.70 ID:0oc9Ztsl >>309 >{{…}} は正則性公理に反するのでZF内には存在できません （>>189より） 正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、 ”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は 底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです （>>159-160ご参照） なお、>>310もご参照 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/311

312: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/12(土) 22:32:11.89 ID:XYOM7riD >>310 ＞ノイマン型から、分出公理で一番右のΦのみを残し他のΦを省いた集合を作ると、それはツェルメロ型になる ωの一番右のΦってなんだよ？ｗ 有りもしないものが見えるとか、 馬鹿はとうとう認知症になったかｗ >>311 ∈関係の無限上昇列から、無限下降列は作れないことが 馬鹿にはどうしても理解できないらしい 考えない奴には数学なんて死んでも理解できないから諦めろｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/312

313: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 22:33:16.85 ID:0oc9Ztsl >>293 (引用開始) Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]} (引用終り) ？ xmをいくらでも小さく取れるということですか？ それこそ、正則性公理で禁止されていることですよ つまり、ZFCで空集合Φに、ノイマン型で後者関数を使って、自然数を作る 最小値（集合） 0＝Φで、これが最小値（集合） ノイマン型で 0∈1∈2∈・・∈n・・ となって 最小値（集合） 0＝Φより、小さい値（集合）は存在しません！ 一方、大きな値（集合

）は、可能です 無限大も可能です（もちろんアレフ1もアレフ2も可能です） なお、正則性公理の規定によって、∈関係において、∈は等号の意味は含みません つまり、「X∈X」は禁止されていますので、「・・X∈X∈X∈X」という等号型の無限ループは許されていません さて、そろそろ宜しいでしょうか？ 私は、(>>257)『おっさんずラブ』ならぬ、おっさんずゼミ(゜ロ゜; （どこのだれとも知れぬ”名無しさん”＝おっさんたちと、ゼミやる気ないです（＾＾； 　大学教員だとかいうなら、話は別ですがね） そんな趣味ないので、あしからずご了承

ください ｗ（＾＾； （たまに冷やかしで書くかも知れませんが、そのときはよろしく） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/313

314: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 22:38:10.18 ID:0oc9Ztsl >>312 ＞ωの一番右のΦってなんだよ？ｗ その質問は、哀れな素人さんの無限に関する質問に類似 ＞有りもしないものが見えるとか、 現代数学の概念は、抽象的なものが多いよ。知らないみたいだね(゜ロ゜; http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/314

315: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 22:50:41.54 ID:Vy+smElV >>313 いえ違いますよ。 とりあえず>>308で書いた事が認められないという立場なのですね？ では>>308のどの主張が認められないのか指摘して下さい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/315

316: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/12(土) 23:01:09.90 ID:XYOM7riD >>314 馬鹿は、最大の自然数が存在すると思ってるのか？ｗ 「最大の自然数が存在しない」という点では、 数学関係者と安達の間に意見の相違はない 相違があるとすれば 「自然数全体の集合が存在するか否か」 無限公理においては、最大の自然数が存在しないにも関わらず 自然数全体の集合は存在する むしろ馬鹿の「最後の元が存在しないなら集合になり得ない」 という発想が、安達とそっくりｗ 数学はそういう馬鹿な考え方は捨て去ったｗ http://rio2016.5ch.ne

t/test/read.cgi/math/1570237031/316

317: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/12(土) 23:03:28.11 ID:Vy+smElV >>313 いえ違いますよ。 とりあえず>>308で書いた事が認められないという立場なのですね？ では>>308のどの主張が認められないのか指摘して下さい。 >>308の主張はたった一つです。 hypothesis(h)の元にness. cond. 1が導かれる。 という主張です。 証明にギャップがあって認められないのはどこですか。 指摘して下さい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/317

318: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/12(土) 23:06:04.48 ID:XYOM7riD 無限公理によるωは、ノイマンのsuc(a)=a∪{a}の超限回繰り返しではない なぜなら ω=suc(a)=a∪{a}となるようなa（つまりωの一番右の元！） が存在しないから 馬鹿は「ω＝suc(a)となるaがある！」と思い込んでるらしいが大間違いだｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/318

319: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/13(日) 00:01:32.64 ID:m8dyiQfg >>313 > xmをいくらでも小さく取れるということですか？ やっぱりF(Ω)とNを混同してませんか？ そもそも>>308の主張では一切F(Ω)に順序など入れてませんよね？ xmはF(Ω)の元ですよ？ 順序集合ですらないのにいくらでも小さくとれるも何もないでしょ？ >>308のclaimのSの最大値といってるSを含んでいるNの持っている整列順序ですよ？ SはNの部分集合なのでNの順序を制限したものを持ってます。 xmをいくらでも小さく取れるなんて主張はxmの入って

いるF(Ω)に順序が入ってないと言えませんが、>>308のどこにもF(Ω)の順序を定義などしてませんよ？ そして>>308の主張のどこをどう読んでもxmに最小値があると読める部分はないはずですが？ >>308の議論ではF(Ω)とNの部分集合が出てきてますけど区別できていますか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/319

320: １３２人目の素数さん [] 2019/10/13(日) 02:46:04.17 ID:lOWuZmUx A={{}, {{}}, {{}, {{}}},...} と B={{…}} の決定的な違いは、A∌∞、B∋∞ スレ主は∞∈Nの間違いから未だに抜け出せないようだ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/320

321: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/13(日) 07:09:07.19 ID:sXrN/kYa （>>313より） おっさんずゼミ＝「どこのだれとも知れぬ”名無しさん”のおっさんたちとの、ゼミ」やる気ないです 但し、好きなときに好きなことを書かせてもらいます（＾＾ ちょっと思いついたので、下記をば >>314 ＞ωの一番右のΦってなんだよ？ｗ じゃ、 ノイマン後者関数（左右入れ替え）；suc(a) := {a}∪a（= a∪{a}） とでもしておけば良い ωの一番左のΦだよ 等号（＝）に一番近いやつ これは動かないから 探さなくて良いぜ(゜ロ゜; h

ttp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/321

322: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/13(日) 07:11:08.01 ID:sXrN/kYa >>318 >無限公理によるωは、ノイマンのsuc(a)=a∪{a}の超限回繰り返しではない >なぜなら >ω=suc(a)=a∪{a}となるようなa（つまりωの一番右の元！） >が存在しないから そう！ その指摘は正しいね ωは、下記の通り、”任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω”で、「 0 でも後続順序数でもない順序数」だ 「順序位相（英語版）に関する極限点」だから、極限を用いて考えれば良い 有限順序数のｎ→∞の極限として、ωを理解するのが

分り易い それは、ツェルメロ構成に同じだ ノイマン後者関数の定義から、極限でωがでる 同様に、 ツェルメロ後者関数の定義から、極限でωがでる。そして、またωの後者が始まる。そう理解するのが、現代数学の正しい理解だね（＾＾ (参考>>164もご参照) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 (抜粋) 集合論および順序論（英語版）における極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。 任意の自然数よりも大きい最小の超限順

序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。 順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。 （全ての有限）順序数からなる空でない集合の合併は最大元を持たないから、常に極限順序数である。 ・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9

集積点/極限点 (抜粋) 定義 位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93 T1空間 (抜粋) X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/322

323: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/13(日) 07:22:41.21 ID:sXrN/kYa >>322 参考追加 https://en.wikipedia.org/wiki/Order_theory Order theory (抜粋) Order theory is a branch of mathematics which investigates the intuitive notion of order using binary relations. It provides a formal framework for describing statements such as "this is less than that" or "this precedes that". This article introduces the field and provides basic definitions. A list of order-theoretic terms

can be found in the order theory glossary. Contents 1 Background and motivation 2 Basic definitions 2.1 Partially ordered sets 2.2 Visualizing a poset 2.3 Special elements within an order 2.4 Duality 2.5 Constructing new orders 3 Functions between orders 4 Special types of orders 5 Subsets of ordered sets 6 Related mathematical areas 6.1 Universal algebra 6.2 Topology 6.3 Category theory 7 History 8 See also つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/323

324: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/13(日) 07:23:50.76 ID:sXrN/kYa >>323 つづき Category theory The visualization of orders with Hasse diagrams has a straightforward generalization: instead of displaying lesser elements below greater ones, the direction of the order can also be depicted by giving directions to the edges of a graph. In this way, each order is seen to be equivalent to a directed acyclic graph, where the nodes are the elements of the poset and there is a directed path fro

m a to b if and only if a ? b. Dropping the requirement of being acyclic, one can also obtain all preorders. When equipped with all transitive edges, these graphs in turn are just special categories, where elements are objects and each set of morphisms between two elements is at most singleton. Functions between orders become functors between categories. Many ideas of order theory are just concepts of category theory in small. For example, an infimum is just a categorical product. More generally, one can c

apture infima and suprema under the abstract notion of a categorical limit (or colimit, respectively). Another place where categorical ideas occur is the concept of a (monotone) Galois connection, which is just the same as a pair of adjoint functors. But category theory also has its impact on order theory on a larger scale. Classes of posets with appropriate functions as discussed above form interesting categories. Often one can also state constructions of orders, like the product order, in terms of catego

ries. Further insights result when categories of orders are found categorically equivalent to other categories, for example of topological spaces. This line of research leads to various representation theorems, often collected under the label of Stone duality. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/324

325: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/13(日) 07:24:42.49 ID:sXrN/kYa >>324 つづき History As explained before, orders are ubiquitous in mathematics. However, earliest explicit mentionings of partial orders are probably to be found not before the 19th century. In this context the works of George Boole are of great importance. Moreover, works of Charles Sanders Peirce, Richard Dedekind, and Ernst Schroder also consider concepts of order theory. Certainly, there are others to be named in th

is context and surely there exists more detailed material on the history of order theory. The term poset as an abbreviation for partially ordered set was coined by Garrett Birkhoff in the second edition of his influential book Lattice Theory.[2][3] (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/325

326: 第六天魔王 ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/13(日) 08:21:17.35 ID:2pwdGOo0 >>322 >>無限公理によるωは、ノイマンのsuc(a)=a∪{a}の超限回繰り返しではない >>なぜなら >>ω=suc(a)=a∪{a}となるようなa（つまりωの一番右の元！） >>が存在しないから >そう！ その指摘は正しいね 今頃そんな自明なこと言ってんのかｗ >それは、ツェルメロ構成に同じだ 馬鹿は助詞も正しく使えないｗ 誤　ツェルメロ構成「に」同じ 正　ツェルメロ構成「も」同じ 大阪の小学校では国語もロクに教えないのか？ だからこん

な馬鹿が生まれるんだな 東京ではこんな間違った日本語書く馬鹿はいないぞｗ >ノイマン後者関数の定義から、極限でωがでる >同様に、 >ツェルメロ後者関数の定義から、極限でωがでる。 馬鹿は、極限の取り方を知らないｗ ω＝∪ｎだぞ ツェルメロ構成でも同様、と言い切ったなら ω’＝∪ｎ’ だから ω’＝{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…} で ω’∋ｎ’ だな 馬鹿、極限発言で完全自爆ｗｗｗｗｗｗｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/326

327: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/13(日) 08:46:17.59 ID:m8dyiQfg とりあえず、私が得てる結論だけ書きます。 prop (1) 集合XにおいてF(X)が x∈F(X)⇔∃(x1,‥xn) x=xn, X=x1, x1∋x2∋‥‥∋xn を満たすものが構成できる。 (2) F(X)の任意の元が有限集合⇔rank(X)が有限 (3) F(X)の任意の元がsingleton⇔XがZermelo natural number ホントは(1)が難しいのですがそれさえ認めてしまえば(3)くらいは理解してもらえるかと思ったけど、どうもそのレベルにないようですね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/327

328: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/13(日) 16:53:53.36 ID:2pwdGOo0 >>327 馬鹿は反論不能で沈黙したな 当然だ　あいつは論理的思考ができないからな 本能行動以外何もないｗ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%AC%E8%83%BD%E8%A1%8C%E5%8B%95 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/328

329: １３２人目の素数さん [] 2019/10/13(日) 17:05:12.50 ID:lOWuZmUx スレ主ってなんで数学なんかに興味持ったのだろう？ 素養の欠片も無いのに http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/329

330: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/13(日) 17:17:50.06 ID:2pwdGOo0 >>329 中二病でしょうな https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E4%BA%8C%E7%97%85 ”中二病（ちゅうにびょう）とは、 　「中学2年生頃の思春期に見られる、背伸びしがちな言動」 　を自虐する語。 　転じて、思春期にありがちな自己愛に満ちた空想や嗜好などを 　揶揄したネットスラング。 　「病」という表現を含むが、実際に治療の必要とされる 　医学的な意味での病気、または精神疾患とは無関係である。” 典型的な「症例」 ・洋楽を聴き始める。 ・旨

くもないコーヒーを飲み始める。 ・売れたバンドを「売れる前から知っている」とムキになる。 ・やればできると思っている。 ・母親に対して激昂して「プライバシーを尊重してくれ」などと言い出す。 ・社会の勉強をある程度して、歴史に詳しくなると 　「アメリカって汚いよな」と急に言い出す。 洋楽は洋書、バンドは数学者に置き換え可能ｗ しかし一番始末が悪いのは 「（できもせんのに）やればできると思ってる」 ってところだな これいい大人、というか老い先短い爺ィにも見られる 「根拠のない自信家」というのは障害といってもいいなｗ h

ttp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/330

331: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/13(日) 17:21:21.12 ID:2pwdGOo0 ちなみに ・BABYMETALを聴き始める ・BABYMETALを「さくら学院重音部の頃から知っている！」とわざわざ云う というのは、センスがいい証拠(￣ー￣)←完全な中二病ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/331

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