現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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5: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/09(月) 19:54:09.93 ID:w2gV7wtr

＜過去スレ＞
（そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます）
（数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。）
（が、最近関数論の芽茎層の理論との親和性に気付いたので、後でテンプレに入れます。（＾＾ ）
過去スレリンク集
（下記以外で抜けている分は、スレ68の https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/4-6 ご参照 ）
76 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/
75 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/
74 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/
73 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563282025/
72 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1562292879/
71 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/
70 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560684578/ 842 てへぺろ☆(・ω<)さん来訪
69 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560510589/
68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/ 前スレ
64 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1556253966/ 868-869 時枝記事否定派のAlexander Pruss先生が、意外に大物で数学のプロであること判明。勝負あり～！（＾＾
47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/ 時枝記事関連資料豊富
46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/ ＜スレ46の422に書いた定理“系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない”＞
45 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/ 哀れな素人さん 79-92
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/5

378: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/20(金) 23:20:21.93 ID:ihE7M+Qz

>>376
コケコッコー（おれ）もレベル低いけど、おサルもほんと低レベルだな～ｗ（＾＾

必死の論点そらし、ご苦労さん
まあ、下記でもご参照
「表記と慣例」
「同値類を表すのに代表元に施す角括弧をしばしば省略して、代表元とそれが属する合同類とを同じ文字で表す」
「合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」(canonical) な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる」
そのうえでの、「Z/2Z = {0, 1} 」ってですよ（＾＾；
同一視は、上記の”hiroyukikojima” ”「同じと見なす」ことの素晴らしさと難しさ”

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E%E7%92%B0
剰余類環
(抜粋)
本項は剰余類環 Z/nZ の代数的な定義と性質について述べる。合同類別に関するより平易な導入については整数の合同を参照のこと。

定義
n >= 2 を自然数とする。n で割った剰余が等しい整数をすべて集めたものを、「n を法とする」合同類あるいは剰余類と呼ぶ。
代表元 (representive, Vertreter)
a の属する剰余類を [a] と表

表記と慣例について
Z/nZ と書くのが、面倒だがもっとも誤解は少ないだろう。
記号の濫用だが、記述の面倒を避けるため慣例的に、同値類を表すのに代表元に施す角括弧をしばしば省略して、代表元とそれが属する合同類とを同じ文字で表す。
同じ合同類を表すのに無数の符牒が与えられていることになる。
慣例的に合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」(canonical) な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる。

性質
任意の自然数 n >= 2 に対して Z/nZ は、nZ を零元、1 + nZ を単位元とする可換環を成す。

慣例的に合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」(canonical) な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる。

2 を法とする剰余類環
整数を 2 で割った剰余は 0 か 1 となるから、Z/2Z = {0, 1} であり、これはすべての剰余類環のなかで位数最小のものである。また、2 は素数なのでこれは位数最小の有限体 F2 とも一致する。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/378

854: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/15(火) 20:57:55.93 ID:9ROe+Kvi

>>853
訂正：つづき→つづく

つづき

ところで
>>838
>http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
> １のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
> 1 の原始 n 乗根はφ(n) 個あります．
>ここに出てきたφを オイラーのファイ関数 と呼びます．

これ、下記の「巡回群」の”n が有限ならば G を生成する元の総数はちょうど φ(n) に等しい”と一致しているが
しかし、英文 Cyclic group の
”If p is a prime number, then any group with p elements is isomorphic to the simple group Z/pZ. A number n is called a cyclic number if Z/nZ is the only group of order n, which is true exactly when gcd(n,φ(n)) = 1.”
の記述と不一致？(゜ロ゜;
巡回群とCyclic groupの記述が
いや、調べるとオイラーのφ(n)は、一般に偶数で、素数ｐがφ(n)には出現しないので、「巡回群」の記述へんだよね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
(抜粋)
性質
位数 n の巡回群（n は無限大でもよい）G と G の任意の元 g について、以下のようなことが言える。
・n が有限ならば G を生成する元の総数はちょうど φ(n) に等しい。ここで φ はオイラーのトーシェント函数である[4]。
・もっと一般に、d が n の約数ならば Z/nZ の位数 d の元の個数は φ(d) である。また、m の属する剰余類の位数は n/gcd(n,m) で与えられる。
・p が素数ならば、位数 p の群は（同型の違いを除き）巡回群 Cp（あるいは加法的に書くならば Z/pZ）しかない[5]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/854

961: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/18(金) 07:18:10.93 ID:Zm+yHrIo

>>918
>・B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)

追加参考
（後の”Metacyclic Group Wolfram MathWorld”の方が、綺麗に纏まっているが、書きぶりがちょっと違う）
https://en.wikipedia.org/wiki/Metacyclic_group
Metacyclic group
(抜粋)
In group theory, a metacyclic group is an extension of a cyclic group by a cyclic group. That is, it is a group G for which there is a short exact sequence
1 → K → G → H → 1
where H and K are cyclic. Equivalently, a metacyclic group is a group G having a cyclic normal subgroup N, such that the quotient G/N is also cyclic.
Properties
Metacyclic groups are both supersolvable and metabelian.
Examples
・Any cyclic group is metacyclic.
・The direct product or semidirect product of two cyclic groups is metacyclic. These include the dihedral groups and the quasidihedral groups.
・The dicyclic groups are metacyclic. (Note that a dicyclic group is not necessarily a semidirect product of two cyclic groups.)
・Every finite group of squarefree order is metacyclic.
・More generally every Z-group is metacyclic. A Z-group is a group whose Sylow subgroups are cyclic.

http://mathworld.wolfram.com/MetacyclicGroup.html
Metacyclic Group Wolfram MathWorld

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/961

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