現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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30: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/11(水) 07:43:22.83 ID:IlUCyPH9

>>21
うん、それね、おれ間違っているね（＾＾；
スレ76 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/845
引用
>>842
＞Ω ⊂ R^N と Ω ∈ R^N はまったく別ものである
「まったく別もの」ではない
詳しくは、>>832の「ZFC公理系について：その1（及び2）」を読んでみな
簡単に書くと
１）二つの集合A,Bで、A ∈ B　→ A ⊂ B
　∵ 集合Aの全ての元aは、集合Bの元だから
２）二つの集合A,Bで、A ⊂ B　→ A ∈ B
　∵ 集合B中で、集合Aの全ての元aを集めて、内部に集合Aを構成できるから
３）”A ∈ B　→ A ⊂ B” ＆ ”A ⊂ B　→ A ∈ B”が成立つから、二つは同値
(引用終り)

１）まず、上記２）は、スレ76 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/865
　に自分で書いたように、正則性公理から反例 ｘ not∈ x （x ⊂ xであるにも関わらす）が出るから間違い
　（それ以外にも、反例はあるな。後述）
２）では、上記１）は、どうだろうか？
　下記の筑波大 坪井先生の数理論理学IIをベースに考えてみよう
　P5 公理的集合論「x ∈ y の直観的な意味は，もちろん元x が集合y に属することであるが，x も一つの集合だと考える．」
　”元x も一つの集合だと考える”とすると、x ∈ y → x ⊂ y だろうと
　しかし、ZFC公理系から導けると思って、トライしたが、残念ながらできなかった（＾＾；
　（そういう文典も探したが、見つけられなかった）
３）しかし、我々の通常接する素朴集合論に近い議論では、”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めた方が良いという結論に至った
４）その一つの理由が、Ｐ11の「1.3 順序数」の、
「素朴集合論では同値類 X/～ を（一つの）順序数とよぶ．
しかし整列順序の全体は（大きすぎて）集合にはならない．X と順序同型
なものたち全体に限っても集合ではない．したがって，素朴集合論における通
常の構成法は厳密な議論には相応しくないので，別の構成法を考えなくてはならない．
基本的な考え方は，∈ がその上で整列順序になる集合たちのクラスを上手に
定義して，それに属する集合を順序数として定義すること」
（要するに、∈－順序な）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/30

169: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/14(土) 23:14:12.83 ID:QdZ5TU5n

>>163 追加
（下記、藤田先生）
「要素所属関係∈」
とか
「モストフスキの崩壊定理により, 外延性公理の整礎的モデルは推移的集合の∈-構造と同型になる」
とか
公理的集合論では、「要素所属関係∈」は、”ヒトの集合論の肝”ですよ（＾＾；

（参考：藤田 博司先生（＾＾； ）
http://tenasaku.com/academia/notes/weakly-compact-survey.pdf
弱コンパクト基数
藤田 博司
起稿:2009 年 1 月 30 日
脱稿:2009 年 2 月 14 日最終組版日 2010 年 7 月 6 日 (time: 1041)
概要
弱コンパクト基数について勉強したことのまとめです. 新しいオリジナルな結果はありません.
(抜粋)
P19
B が集合論の言語L(∈) あるいはその拡張言語に対応する数学的構造, A が
その部分モデルで, しかも上記の条件(EX) が成立しているならば, B はA の終端拡大(end-extension) で
あるといいます.

定理3.5 k を弱コンパクト基数, A をVk の任意の部分集合とする. このとき, 構造(Vk,∈,A) は整礎的な初等
終端拡大をもつ. とくに, 推移的集合M とその部分集合A' が存在して, k ∈ M, かつ(Vk,∈,A) < (M, ∈,A')
となる.
[証明] 集合論の言語L(∈) に, 集合A をあらわす一項述語記号A と, Vk の各要素x をあらわす定数記号
cx, それと, “新しい順序数” をあらわす定数記号c* を添加した拡張言語L' を考えよう.

M の要素所属関係∈* が整礎的であることは, 次のL'k,k文:
略
が　(V,∈) で成立しており, したがって(M, ∈*) でも成立することによってわかる. モストフスキの崩壊定
理により, 外延性公理の整礎的モデルは推移的集合の∈-構造と同型になる. そこで, M は推移的集合, ∈* はホ
ンモノの∈-関係であるとしても一般性は損なわれない. Vk が推移的集合であることから, このとき, x* = x
が成立し, (M, ∈,A') は(Vk,∈,A) の初等拡大モデルとなる.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/169

758: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 11:17:21.83 ID:nHmzRvjt

>>757
つづき

応用例
非自明な有限 p-群 P（つまり位数 pn の群、ただし p は素数で n > 0）を考えよう。類等式を使うと

「すべての非自明な有限 p-群は非自明な中心をもつ」
ことが証明できる[9]。

証明：P の任意の共役類の元の数は P の位数を割らなければならない。よって中心に含まれていない各共役類 Ci の元の数もまたあるベキ pki（ただし 0 < ki < n）であることが従う。すると類等式から pn = |P| = |Z(P)| + 琶 pki となる。ゆえに p は |Z(P)| も割らなければならず、したがって |Z(P)| > 1 であることがわかる。

共役集合と共役部分群
群 G の部分集合 S （S は部分群である必要はない）と g ∈ G に対して

Sg = g^-1Sg = { g^-1sg | s ∈ S }
を S の g による共役集合という[10]。SG を部分集合 S の群 G における共役集合からなる集合とする。 次の定理はよく使われる。 G の部分集合 S が与えられたとき、SG の元の数は G における S の正規化群 NG(S) の指数に等しい[4]：

|SG| = [G : NG(S)].
これは G の元 g と h に対して Sg = Sh であることと gh^-1 が NG(S) の元であること??つまり g と h が NG(S) を法として等しいこと??の同値性から従う。

この公式は共役類の元の数に対する前に与えられたものを一般化することに注意しよう（S = {a} とせよ）。

上記は G の部分群について話すときに特に有用である。部分群のなす集合は共役部分群へ分割できる。共役部分群は同型であるが、同型な部分群が共役であるとは限らない。たとえば、アーベル群は同型な 2 つの異なる部分群をもつかもしれないが、それらは決して共役でない。
一方でシロー部分群は互いに共役である（シローの定理）。また、部分群 H がそのすべての共役部分群と一致することは部分群は正規部分群であることに他ならない。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/758

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