現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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109: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/13(金) 22:06:46.55 ID:Ct8Lh9wH

>>108

つづき

圏論
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。
大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。
例えば、グロタンディーク宇宙 U における2つの集合の和集合も U の内部にある。同様に、共通部分、順序対、冪集合などもまた U の内部にある。
これは上記の上部構造に類似している。グロタンディーク宇宙の利点は、それが実際の集合であって固有類ではないことである。
グロタンディーク宇宙の難点は、厳密さを欲するなら、グロタンディーク宇宙を捨てなければならないことである。

最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。
すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。
対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。
すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。
すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。
なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。

グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。
" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。
つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。
この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/109

199: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/15(日) 10:03:55.55 ID:NNU+uf1a

（>>113より）
https://researchmap.jp/?action=cv_download_main&upload_id=212150
フォン・ノイマンと公理的集合論 渕野昌 28. Mai 2017
以下の文章は、 「現代思想」2013 年８月増刊号に，渕野昌，フォン・ノイマンと公理的集合論(2013), 208?223. として収録された論説である。
雑投稿／校正後の加筆訂正も含まれている。
誌掲載版では紙数の制限などのために削除した部分も再収録した。

上記を読むのに、下記が大変役に立ちました（＾＾
http://www.ivis.co.jp/text/20190619.pdf
代替集合論 （Alternative Set Theories）の調査 古賀明彦 2019年 6月 19日（水）

なお、追加でメモ貼り
https://martbm.hatenabloｇ.com/entry/20170723/1500777080
martingale & Brownian motion
2017-07-23
ＺＦＣの圏論での「代替」には意味があるのか？

新装版 集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために (ブルーバックス)
作者: 竹内外史
出版社/メーカー: 講談社
発売日: 2001/05/18

現代集合論入門 (日評数学選書)
作者: 竹内外史
出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 1989/12/01

この本がいいところは、なぜ公理的集合論が「変」なのか。というか、どうしてこんなことになっているのかを、かなり細かく（つまり、啓蒙的に）書いてくれていることで、細かい証明を辿っていけば、「なるほど、こんなことになっているんだな」というのを理解してくれると思う。

ここで大事なポイントは、「これ」が「数学の基礎」として提示されているところにある。
ようするに、あまりに「人工的」な印象を受けるわけである。
もっと言えば、この公理は
強すぎる
のではないのか、という疑いが強いわけである。
なぜ、こんな公理が用意されたのか？
それは、上記の「矛盾」を回避するためであった。
つまり、いろいろと分かっている「矛盾」を回避しながら、かつ、
今ある「全て」の数学を成立させる
ための「基礎」となる公理はなんなのか、として「探された」結果として、この姿があるわけで、少しも「直感的」な理由から選ばれていないわけである。

これが「数学の基礎」と言うには、あまりに「人工的」なんじゃないのか？
という、気持ち悪さが残っているわけである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/199

290: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/18(水) 07:38:58.55 ID:3KrCaRK2

>>289
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
クラス (集合論)
(抜粋)
公理的集合論におけるクラス
ZFではクラスの概念を定式化することはできないので、クラスはメタ言語による同値な言明で置き換えることで扱うことになる。
例えば、AをZFを解釈する構造として、メタ言語での表現 {x｜ x=x} のAにおける解釈は、Aの議論領域に属する要素全ての集まり（つまり、Aにおける集合すべての集まり）である。
ゆえに、「全ての集合の成すクラス」を述語 x = xと（あるいはそれに同値な述語と）同一視することができる。

ZF集合論ではクラスを厳密に扱うことができないので、ZF の公理系をそのままクラスに関する言明に適用することはできない。
しかし、到達不能基数 K の存在を仮定すれば「それよりランクの小さな集合全体」は ZF のモデル（グロタンディーク宇宙）になり、その部分集合を「クラス」として考えることができる。

別な方法として、ノイマン-ベルナイス-ゲーデルの公理系 (NBG) を例に挙げよう。
この理論ではクラスは基本的な対象であり、集合は別のクラスの要素であるクラスとして定義される。
しかしながら、NBGにおける集合の存在公理は、クラスの上を亘るのではなく、集合の上を亘る量化のみに制限されている。これにより、NBG は ZF の保存拡大となる。

モース-ケリー集合論 (MK) は（NBG のように）真クラスを基礎的な対象として認めるものだが、集合の存在公理の中で全ての真クラスを走る量化をも許す。これにより、MKはZFやNBGより真に強い。

新基礎集合論 (NF) や半集合の理論のようなほかの集合論でも、「真の類」の概念は意味を成す（必ずしも全ての類は集合でない）が、集合性 (sethood) の判定規準が部分集合を作る操作の下で閉じていない。
例えば、普遍集合を備える任意の集合論は集合の部分類となるような真の類を持つ。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/290

912: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/17(木) 07:37:43.55 ID:khSgay+Z

>>909
ぱち ぱち ぱち、拍手！
ご苦労さんｗ（＾＾；

さて、じゃおれも
(>>858より 下記”１のｎ乗根 （Joh著）”から）
「Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．」
の話において

「1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．」
は、ベクトル空間の基底で”1は不要”の話は、”1”みならず、任意のζ^m (1<=m<=n-1)の1つを基底から外すことが可能
（∵ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0で、一次従属なので、どれでも1つを外すことが可能）

よって、群を考えるときは、単位元が欲しいので、
最上位のζ ^n-1を外して
”1 , ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-2 とn-1個 が基底を張る”とすれば、
クンマー拡大の巡回拡大（>>911）と同じ議論に乗ります （＾＾

（参考）
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．

拡大体の基底に関する注意
拡大体の次数について注意です． x^n-1 の解 ζ を使い，拡大体 Q(ζ) を考えます． Q(ζ) の元は，一般に a1ζ + a2ζ^2 +...+an-1ζ^n-1 と表わされ， Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．
ベクトルの足し算だと思って図形的に考えればすぐに分かりますが， 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．

http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/Joh-SolvExample1.gif
例えば 1 の五乗根． 1+ζ + ζ^2 +ζ^3 + ζ^4=0 となる．
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/912

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