現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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173: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/14(土) 23:36:33.47 ID:QdZ5TU5n

>>172
つづき

アトムと集合
以下、素朴集合論とはユーザーフレンドリーなZFC集合論の意味だとします。

素朴集合論には、集合でないモノがあります。例えば、整数3は集合でしょうか？ 普通の感覚では、3は集合ではありません。しかし、ZFC集合論では全てのモノが集合です。もちろん、整数3もZFC集合論における集合です。

要素を持たないモノをアトム（atom; 原子）と呼びます。素朴集合論で、3はアトムです。ZFC集合論では、3はアトムではありません。このギャップを埋める方法は、割とイイカゲンで、いくつかの集合を特定して、それらの集合の要素は「アトムと見なそう」と約束するだけです。

アトムを認めると、何がアトムで何がアトムでないかイチイチ決めなくてはいけないので面倒になります。ですが、我々がプログラミング言語やデータベースの話をするときは、スカラー型、複合データ型、コレクション型のような区別をするので、アトムを認めたほうがよいでしょう。

宇宙と銀河
ZFC集合論の集合の全体からなる集まりをVとしましょう。

我々の日常宇宙Uは、ZFCの宇宙Vに埋め込むことが出来るので、U⊆V です。それだけではなくて、日常宇宙Uは、ZFC宇宙Vの単一の集合とみなせるでしょうから、U∈V と考えていいでしょう。日常宇宙Uは小規模な宇宙で、外側に広がる大宇宙Vのなかでは普通の集合に過ぎないのです。

宇宙Uは銀河を持ち、U内のすべてのモノ（アトムでも集合でも）が、いずれかの銀河内に在るとします。これは、a0∈a1∈... という系列が無限に続くことはなくて、銀河で終端することを意味します。この性質を、∈-系列の有界性と呼び、すべての∈-系列が有界な宇宙を有界宇宙（bounded universe）と呼びましょう。

有界素朴集合論
有界宇宙Uを持つような素朴集合論を有界素朴集合論（bounded naive set theory）と呼ぶことにします。アトムも銀河も許します。そのため、ZFC集合論では認められない（否定が証明できる）次の命題が成立します。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/173

351: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/19(木) 23:17:09.47 ID:MSw7Rbq1

>>350
つづき

忘却関手をイメージすると、Grp の対象である群の台集合をそのまま Set の対象とし、Grp の射である準同型写像をそのまま Set の射に写す。集合の圏では演算は定義されていないので f(xy) = f(x)f(y) という等式は意味がなくなってしまう。
つまり、忘却関手とは群の圏から演算を取り去ってしまって、そのまま集合の圏の部分圏に写しだしたものと考えると良い。忘却関手の像の射の集合は集合の圏の射の集合の部分集合になっている。

したがって、忘却関手のイメージとは、群の圏を、集合の圏の部分圏へ写す関手と考える事ができる。

一方自由群は集合から作る事ができる。集合の圏の対象である文字集合をその上の自由群に対応させ、文字集合間の写像を対応する自由群間の準同型写像に対応させる関手（自由関手）を考えると、これは忘却関手とは反対方向の Set -> Grp の関手になる。
自由関手は忘却関手の左随伴である。したがって、自由関手と忘却関手の関係が分かれば、随伴の実例のひとつを理解できることになる。

http://m-hiyama.hatenabloｇ.com/entry/20101021/1287620286
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2010-10-21
さまざまな忘却関手
(抜粋)
バエズがどこかで言ってました、「『忘却』のちゃんとした定義は難しい」と。関手の充満性／忠実性を使うとか、自由と忘却の随伴（自由 -| 忘却）に根拠を求めるとかありますが、それで全てかどうかよく分かりません。

いくつかの例を考えてみます。

Grpを群の圏として、群Gの台集合をU(G)として、UをGrp→Setの関手まで拡張します。これは典型的な忘却関手です。

Catを小さい圏の圏として、圏C（Catの対象）に対して U(C) = |C| = (Cの対象の集合) とすると、Uは自然にCat→Setの関手とみなせます。この場合、圏の代数構造を忘れるだけではなくて、射の集合をゴッソリ忘れています。台集合の一部が欠損します。

Vectを係数体も自由に選んだベクトル空間全体からなる圏だとします。このVectはグロタンディーク構成で作れます。Vectの対象であるベクトル空間Vから係数体を取り出す操作をU(V)とします。U:Vect→Field という関手を作れますが、これもベクトル空間の本体を忘れて係数体だけを残す“忘却関手”と言えなくもないでしょう。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/351

391: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/21(土) 07:36:06.47 ID:RSxZzkRi

>>390
つづき

http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/intro/intro2013.pdf
代数学入門 花木 章秀 信州大 2013
(抜粋)
P29
3.2 整数の合同によって定義される環
ある l ∈ Z が存在して
a - b = nl となるとき a ≡ b (mod n) と書くことにする。
このときこの関係は同値関係である。その a を含む同値類は
a + nZ = {b ∈ Z | a ≡ b (mod n)} = {a + nl | l ∈ Z}
であった。異なる同値類全体の集合は
Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZ}である。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E%E7%92%B0
剰余類環
(抜粋)
定義
n >= 2 を自然数とする。n で割った剰余が等しい整数をすべて集めたものを、「n を法とする」合同類あるいは剰余類と呼ぶ。
代表元 (representive, Vertreter)
a の属する剰余類を [a]

表記と慣例について
Z/nZ と書くのが、面倒だがもっとも誤解は少ないだろう。
記号の濫用だが、記述の面倒を避けるため慣例的に、同値類を表すのに代表元に施す角括弧([ ])をしばしば省略して、代表元とそれが属する合同類とを同じ文字で表す。
同じ合同類を表すのに無数の符牒が与えられていることになる。
慣例的に合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」(canonical) な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる。

性質
任意の自然数 n >= 2 に対して Z/nZ は、nZ を零元、1 + nZ を単位元とする可換環を成す。

2 を法とする剰余類環
整数を 2 で割った剰余は 0 か 1 となるから、Z/2Z = {0, 1} であり、これはすべての剰余類環のなかで位数最小のものである。また、2 は素数なのでこれは位数最小の有限体 F2 とも一致する。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%90%88%E5%90%8C
整数の合同
(抜粋)
合同類環 Z/nZ
加法: 二つの剰余類 a, b に対して剰余類 a + b modulo n を割り当てる
理論的には整数の加法と異なる和であるから別の記号で表すべきであるかもしれないが、簡便さを保つために整数の和と同じ記号 "+" をそのまま使うことも多い。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/391

785: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/11(金) 08:17:28.47 ID:aKfhohl9

>>781
下記、8.4 有理式と置換の
”系 8.21. f, φ を n 変数有理式とする．f を変えない Sn の置換全体を G とする：
G = {σ ∈ Sn | σf = f}. G の置換を φ に作用させて得られる異なる式全体を
φ = φ1, φ2, . . . , φl とする．このとき，φ1, φ2, . . . , φl の対称式は f の有理式に表わさ
れる．”
が基本になるのだが、詳しく説明されない場合が多い
矢ヶ部本や倉田本には、詳しい（＾＾

（参考）
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/
数学第4研究室 N. Yamauchi, Dept. of Math. 岐阜聖徳学園大学
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3digchap8add.pdf
8.4 有理式と置換
(抜粋)
8.4.3 有理式の有理式
定理 8.20. 2 個の有理式 f(x1, . . . , xn), φ(x1, . . . , xn) について，f を変えない Sn の置
換は φ も変えないとする．
(σf) = f ⇒ σφ = φ.
このとき，φ は f の有理式に表わされる．

系 8.21. f, φ を n 変数有理式とする．f を変えない Sn の置換全体を G とする：
G = {σ ∈ Sn | σf = f}. G の置換を φ に作用させて得られる異なる式全体を
φ = φ1, φ2, . . . , φl とする．このとき，φ1, φ2, . . . , φl の対称式は f の有理式に表わさ
れる．

（追加参考）
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig08.pdf
第 8 章 置換の群
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3digchap9.pdf
第 9 章 根の有理式
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig05.pdf
第 5 章 数体
5.3 方程式と体
5.3.5 べき根による解法
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig04.pdf
第 4 章 4 次方程式
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig0-2.pdf
代数学 III 2017
目次
(抜粋)
5 次方程式には「解の公式」が存在しないことが証明され，次いでガロア. （Evariste Galois, 1811-1832）が一般次数の方程式について解の公式が存在するための条. 件を求めることに成功した．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/785

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